704 Sulle Funzioni Generatrici 



plesso la soluzione generale de' problemi stessi. A cagion d' 

 esempio abbiasi l'equazione v , = X ,~i~J . Si sup- 



X,X " X Ì,X x — i,x' 1 



ponga inoltre essere y = v =: o, ^ ='5 essendo m nu- 



' x,o "' o,x' m,m 



mero crualunciue intero non <i, e di più y =i,Y =0, 



' ^ x,i m,m-t-n 



cioè y , = '^ ogfi qualvolta sia a;'>ar. Dipendentemente da que- 



ste condizioni l' eqviazione proposta non si verifica ne' due 

 casi di x=x'=i^ e di x'=2., x'=i, poiché in amendue il pri- 

 mo membro risulta =1, ed il secondo si riduce a zero. Essa 



però sussiste posto :*:=x'=2, poiché allora viene y =y -\-y , 

 ^ ^ 2,2 o,a 1,1 



equazione identica per ipotesi . Ciò posto si vede facil- 

 mente nascere 1' equazione u — tt' — t^ t' ■=- u f" -^ u tt' ossia 



//. = ■ ^'"^''^ essendo sempre u la funzione generatrice di 



y . Al secondo membro della medesima è chiaro potersi da- 



a:, a:' 



re diverse forme, fra le quali quella clie dipende dalla riso- 

 luzione in fattori del denominatore 1 — t{t-^t') si presenta for- 

 se per la prima. Essa però non è quella che conduca più fa- 

 cilmente alla determinazione del ricercato coefficiente. Di 



fatto posto i—t^—tt'=o si ha ^= -l'^^/U^t-) _ zil!^ po- 

 nendo i/(4H-^'")=r ^ dunque i"-l- tt' — \ — it -h \ t)'^ 



I ^ -)- ^ -+- ^ j , i—f^—tt'r= — {t-^p){t^p') fatto an- 

 Cora — =/>, — -(-— ^= P ■ Pertanto u ■=■ — 



(t^p)(l--r-p') 



= —{t£ ^- t^t). _L_ , ! — . . Ora 



I 



p p P p 



= {/-^(-')y-H(-ir|-Hec.)(i-f-(-i)i.^-(-.r^-^-ec.); 



dunque il coefficiente à\ t in • è il se- 



p p 



