Y.l4 •' Sulle Funzioki Gfneratrici 



come però quando x — 3 <x' si annulla il primo termine del 

 secondo membro dell'equazione per una delle condizioni già 

 assunte, non aggiungendone verun'alt)a implicitamente si sup- 

 pone in tal caso che si verifichi l'equazione y =y 



.T,x' X I,x' I 



essendo x'>i locchè è arbitrario. Se si supponesse, che per 

 la natura del problema non potesse verificarsi tale equazione, 

 sarebbe d' uopo dipendentemente dalle altre condizioni che 

 si aggiungessero, determinare le funzioni generatrici di y , 



y relativamente al detto caso di x — 3<a:', e sottrarle 



rispettivamente da quelle de' due membri dell'equazione pro- 

 posta per istabilire fra queste l' opportuna relazione . Nella 

 presente ipotesi però in modo analogo a quello che fu ado- 

 perato nel precedente problema si trova l' equazione fra le 

 funzioni generatrici 



u — tt — f't — t^£z= ut^ -f- utt', onde u = *' ^ ^ . "^ ^ '*', ' ' = 



■t\t-^t^-^t*){i -^t{t'-^e) -¥- t*{t'-h t'Y-ht\t'-+- 1*)* -4- ec. ) . 



Cercando ora il coefficiente di t nella parte ; r- = 



t'{t -H t' {t' -4- t*) ■+■ t'{t'-i- i*)*-H t^{t' -+- 1' )^-t- ec. ) o piuttosto in 



t'{t -+- t\t' -4- -+- t\t' -4- t'Y -H t\t' -¥- t'f. . . . -H t'i t'-h t' f~' ) , 



giacché non potrebbe ricavarsi dai termini ulteriori, si trove- 



1 J x'^ / Q \ 4.<''~^ ( X — 5 ) ( X — 6 ) ,,a^— 6 

 ra esso espresso da. t -^ { x — ò) t -+- ■ t 



^ (r-7)(T-8)(x-9) /-9 _ ^ (x-(2m-t-.))(r-(am-f a)).. (x-3m) ^'''~^'"_^_ec, 

 j .j,.6 " 1 .3,. 6 m 



X 



osservando, che i coefficienti parziali di t non possono aver- 



si che dai termini della forma t't {t'-^t') , essendo 



n numero intero non <o, e preso pure per w un altro qua- 



lunque numero intero. Sarà dunque il coefficiente di t' o ciò 



X x' . , 



che è lo stesso di t t' quando x è della forma x — im, cioè 

 X — a;' := 3m espresso dalla formola , ( 



