Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 717 



ao.Un metodo analogo agli usati nei due numeri precedenti 

 conduce alla completa soluzione deirequazione assai più gene- 

 rale y =y -j-r nella quale n essendo un numero 



x,x' x—n,x' jr— l,x'— I 



qualunque dato può perciò determinare qualunque ordine dell' 



equazione. Posta pertanto u come funzione generatrice dìy ^ , 



x,x' 



quelle di y , y saranno rispettivamente m^*, utt\ 



^ x—n,x' "^ x—i,x'—i 



e ritenendo che quando a;'=: i sia / =1 sempre quando 



Xfl 



x^o essendo poi y = o, ed inoltre supposto y =0 fin- 



'^ 0,1 '■ '■ X— f7I,l 



che .r=i, X = a. , x = 3 ec. x = n, cioè fintantoché non 



sia a; > m , ne viene 1' equazione tra le funzioni generatrici 



,, ,,".". 1 t'ii^f-t-t* ^f) 



u—t(tH-t*-ht^-i-t*...-^t )=iut -hutty onde u= ^n^ 



= Ì{ f-i- t ....-+- 2f )( I -H i ( i H- « ) -t- £• ( i -irt Y 



-\- t^ {t -¥• t' )*-t- ec. ) , e denotando per r un esponente in- 

 tero che possa ricevere tutti i valori da i fino ad n inclu- 



sivamente , il coefficiente di t" in £ t(i -^ t [t -^ i ) 



-ht^{t -^tY-i-ec.)=t{t -i-t {t -i-t)-i-t ( t ■+- tY-\-ec. ) 

 non potrà ottenersi in alcuna sua parte da termini che oltre- 

 passino t't {t -t-i') , e solamente da quelli della for- 



, x—m{n—i) n— I x—r—m(n — i) 



ma tt (t •+■£ ) essendo m numero intero 



qualunque ed anche zero, giacché é d'altronde evidente che 



innalzando ad una qualunque potenza intera il binomio t -Hi', 

 gli esponenti di t riescono sempre multipli di n — i . Quin- 

 di il coefficiente di t ricavandosi dalla sola espressione 



X n— I ,,^— r , x—(n—t), n—i ,,x— r— (n— i) , x—»(n—t) 



(t -^t) ... -^tt {t -irt') -4- ec. 



sarà : 



