7i8 Sulle Funzioni Ceneratrici 



(I). . . . /"-^"-' ,(^ -.-(^_.))^'"-^-^"-'^ I (x-r-.(.-.))(x-r-Mn-n-..>_^, 



r. 



■— r— a(„_t)— i ( j— r— 3(«— I ))(g~r— 3(>;— i )— i )(x— r— 3(n— i )— a) a;— r— 3(n— 1)_» 



i.a.3 •••• 



(J— r— m(fz— i))(x— r— m(^— i)— i)(x— r— ot(«— i)— a)...(a:— r— m(n— i)— (ct— t )) 



i.a.3 . . . . m X 



X— r — m(« — i) — (m — i) 



Perciò il coefficiente di t' che si ricava da quello di t o, 

 ciò che è lo stesso , il coefficiente dì t t' in u è 



(x—r—mjn — ì)){x—r—m(n—\)—i) . . . . (x—r—m(n— i)—{ m— i )) 

 i.a.3 m 



(r — r — ro(ra— t))(x — r — m{n— i )— i ) (r — r —ti r - f- i ) 



i.a.3 m 



poiché qualunque sia x purché non >a; può sempre suppor- 

 si x'=x — r — mii-t-i., ovvero x — x'=r-¥-mn — i cioè la dif- 

 ferenza de' due numeri x, x' sarà sempre o un multiplo esat- 

 to di n, locchè avviene nel caso dir=r^o lo sarà coH'avan- 

 zo di un numero •<«> locché ha luogo quando si fa succes- 

 sivamente r=! , r=2. , r=3 ec. fino ad r=n inclusivamente. 

 A cagion d'esempio se si pone «:=3, /•= a sarà x — x' della 

 fonna 3w-f-a come riesce nel problema precedente. Per mo- 

 strare ora come il valore trovato generalmente per y ren- 



x,x' 



de identica V equazione proposta, giova osservare come l'espres- 

 sione corrispondente dee convertirsi in quella di r ponen- 



do nella prima x — n in luogo di x, ed m — i in luogo di m, 

 ed in quella di y ponendo soltanto nella prima x — i 



X— i,x' — I 



in luogo di X, e ciò é evidente poiché in questo ultimo caso 

 la differenza x — x'={x — i ) — (^'— i) non varia. Per tal mo- 

 do r equazione y ,'=-y , "*" 7 , diviene 



n\ _ . _ (x— r— TO(n— i))(x— r— m(/;— 0— ■) (x— r— m(n— i)~;m— i) ) / 



i.a.3 m 



