yao Sulle Funzioni Generatrici 



ai. Un metodo analogo a quello che ha servito fin qui 

 per la risoluzione delle equazioni alle differenze parziali con 

 due variabili è applicabile anche alle equazioni che ne con- 

 tengono tre , e potrebbe colle dovute avvertenze estendersi 

 anche a quelle che ne contenessero un maggior numero. Que- 

 sto metodo quanto alle piime dipende dal considerare la fun- 

 zione generatrice di j , „ dotata di una proprietà che com- 



pete similmente alla funzione generatrice di y vale a dire 



x,x' 



che se K è la funzione generatrice di y quella di 



■^ x,x',x" '■ 



V è Ut -t .t come non difficilmente può ri- 



levarsi qualora si considerino le funzioni generatrici a tre va- 

 riabili decomposte in funzioni generatrici a due sole, siccome 

 queste furono già decomposte in altre ad una sola. Ciò posto 

 ripetendo qui i raziocinj adoperati al numero 7. si può sen- 

 za più risolvere il seguente problema , che conduce ad una 

 equazione alle differenze parziali a tre variabili. 



Si tratta di assegnare con una formola il numero de' mo- 

 di ne' quali x cose possano partirsi in tre cumuli^ nel primo 

 de' quali le cose stesse sieno combinate ad x ad x\ e nel 

 secondo sieno combinate ad x" ad x". 



Essendo evidente che il numero ricercato dev' essere una 

 funzione di x. x\ x" essa potrà esprimersi per y , sicco- 



x,x ,x 



me Y avrà lo stesso senso rispetto ad un numero di 



•^ x-vi,x'.i" ^ 



cose maggiore di un'unità del proposto cioè ad a;-H 1 cose, 

 che debbano fra loro combinarsi come si è detto. Ma questo 

 ulterior numero di maniere oltre al comprendere quello che 

 è rappresentato da 7 , „ ne avrà altrettante di più quante 



sieno le unità nella somma y , ,,-^y , „ giacché la 



•'x,x'— ',a: x.x' ,x" — i 



cosa aggiunta rispettivamente combinata con ognuno de' cu- 

 rauU delle altre ad x'—i,x'—i in/ , „^ ^^ x"—ì^x"—i 



x,x'—i,x" 



