7^8 Sulle Funzioni Geneiiatrici 



te manca o svanisce quando x — x — x"-<ci ed x — ar'^ar", poi- 



che allora è uullo il coefficiente di f i n (^/^''-f-( i — p — q))> , 



e d'altronde è evidente, che il prohlenia riesce impossibile 

 quando x < x'-\- x'\ poiché non potendo aver luogo a ciascun 

 colpo, che un evento solo, si richiede almeno, che il numero 

 de' colpi accordato pareggi la totalità degli eventi da condursi. 

 Nel caso poi di x — x' — .r"=t;, cioè di x — x'=x" il coefficiente 



di t" in {qt H-(i — j> — g)) è q dipendentemente dallo svi- 



x' 



a 



luppo di {qt"-\-{i—J> — q)) , e perciò quello dì t t' t nell 

 espressione T^t p,^^,,^^.,^.^^., e ,,,.,....^,_,,j P H =- 



(M) . • . • • TIXZP P "i ' 



Trovato così generalmente il richiesto coefficiente nella 

 prima parte di u, vuoisi anche rinvenire nella seconda parte 



. X x' x" 



t,jr,P in ^ E poiché il coefficiente di / t' t" 



Cloe ,_(^jr^j,"^(._^_y))t f 



i,, ££ si ha dall' espressione (M) moltiplicata 



per q cambiando solamente in essa x in x— i, come è evi- 

 dente per le cose già dimostrate, cosicché esso risulta espres- 

 so da 



( j— 1 )(3r— a)(x — 3). ■ ■ (l'-t- 1 ) (T-x'^t)(x—x'—ì)(x—i'—3) . ...(x"-t-i) ^ 



(N) ,.^3....(;c-x'-.) • ..a.3...,(^-x'-*"-i) ^ 



x—x'-x"—i x"- x"-*-i 



{i-p-q) p q ^ 



e d' altronde il coefficiente di t^i in u, che non è punto fun- 

 zione di t" si ha dal numero 1 1 , lìascerà quindi il coefficiente 



j; /y^'*"^" in ^— dal complesso dei prodotti 



di f ì £ in ,_^^,,^^^,-^ ,_^_^,„ r r 



X x' 



di tutte le variazioni possibili dei coefficiente di / f in u 

 per le corrispondenti di quello <ì\ t t t "» ;^^^.-^,.^._^_^^^ 



