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Sulle Funzioni Generatrici 



T 



x,x ,x 



-+-T' 



(0")..Jh-T' . T 



.-t-T' 



2,2 X — !ì;X — a, a- 



3,a 



T 



. T 



. T 



x'-i.x"-i-l,x',x" 



...-¥-T 



. T 



x'-^-x<',x'—\,x" 



...-+-T' .T 



x—Zy—2.,x" a:— x'— x"-vi,2 x'-*-x"—\,x'—3.,x' 



X ,X X — X ,o,x 



-t-T' T ...^-T' . T 



x'-t-i,x' X— X— i,o,x" x—x"—^.x' x"-f-I,OA" 



nella quale implicitamente si suppone , che sia x "> x -\- x\ 

 altrimenti come è evidente per le cose dette tutta 1' espres- 

 sione si annulla. È poi opportuno di notare , che 1' ultimo 

 termine della serie in (O' ) è T' .T , poiché con- 



' X — x" — i,x' x"-»-i,ox 



tinuandone più oltre 1' ultima fila , s' incontrerehbe subito il 

 termine T' .T in cui T = o, riferendosi questa 



x_x",x' x",o,x" x",o..r" ^ 



espressione al caso in cui x — m = x\ x — n = o^, e perciò 

 X — m — i<x' — n-\-x'. Un' analoga riflessione dimostra co- 

 me la serie parziale di ciascuna delle altre file finisca preci- 

 samente coir ultimo termine in essa rispettivamente notato. 

 Si vedrà pure facilmente, che il prodotto T' .T ed 



^ ^ x',x' x-x',o,x" 



i successivi che dipendono dall' aumento della x', determina- 

 no necessariamente l'ultima fila orizzontale, poiché l'ulterio- 

 re, che si supponesse, avrebbe per primo termine T' X 



'■ ^ * ^ x'-(-i,x-t-i 



T , , il quale contenendo funzioni con indice nega- 



x—x' — I, — I ,x" 



tivo non può pel già detto aver luogo. 



X x' x' 



Resta ora a trovarsi il coefficiente di t t' t' in 



pi,"t 



i—(pt'-i-<]t"-t-{i—p—j))t 



X ,x' „x" . 



ai t t t in 



Perciò si osservi j che il coefficiente 



pi 



i—(pi'-*-qt"M'-^p—'j))t 



/x— i)(x— 2)(,r— 3)....(x'-f.i) (x— x'— i)(x-x'— lì ....(x'-t-i) 



,.é....{x—x'—i) 



i.a.3 (X— x'-x"-i) ^ ^ i' 



T— X'— X-— I 



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