y34 Sulle Funzioni Generatrici 



Si vede pertanto , che la medesima è perfettamente analo<^a 

 alla espressione (O'), e da questa ricavasi cambiando in essa 

 primieramente i simboli generali T ^ ^ ., T' rispettivamen- 

 te in T" e T'" , e poscia trasportando all' indice x' le 



variazioni dell'indice x e reciprocamente considerando x co- 

 me costante in vece di x" , coli' avvertenza poi di compiere 

 r espressione (R) colla fila orizzontale, che ha per primo ter- 

 mine T'" , „ . T" , ripetendo un discorso affatto simile a 



quello con cui si determinò per ultima fila in (0") quella , 

 che ha per primo termine T' . T . Rimane pertanto 



^ arjo. X — x',a,x" ^ 



dimostrato, che la somma delle tre espressioni (M) , (O"), (R) 

 è il valore cercato di y , ,,, che risolve perciò il problema. 



Per farne ora qualche applicazione sia a."=5, :r'=:3, .T'=r. 



Ponendo questi valori in (]M), la prima parte del coefficiente 



richiesto risulta ic( i — p — q)p^q- Ponendoli poscia in {0"J 



si tratterà di determinare i valori di T^ ^ , T' . T , 



5,3,1 1,1 4,a,i 



T' . T , T' . T alla somma de' quali si riduce (0") 



a. 2 3,1,1 3,3 2,0,1 



in questo caso , giacche ogni altro termine di quella espres- 

 sione generale divien nullo , perchè in esso il moltiplicatore 

 funzione delle tre variabili riesce sempre tale che l'indice in 

 prima sede non supera la somma degli altri due. Ciò po- 

 sto applicando simultaneamente le formole (P) , (N') si ha 



T =4/A/% T' .T =y. 3/^V, r . T^ ■=p\xpq\ 

 5,3,1 ^^ ^ 1,1 4.2,1 ^ ^ i ^ a,2 3,1,1 ^ ^ ' 



T' . T =//^*. Restano ora a prendersi nella espressione 



3,3 2,0,1 

 (R) i valori di T" . T"' . T" riducendosi la medesima 



^ ' 5,3,1 ' j,i 4,3,0 



a questi soli come rilevasi per le osservazioni già fatte. Per- 

 tanto la forinola (Q') dà T" =\p'^q, e le formole (Q'"), (Q") 



danno insieme T" . T" = a p'^. Sarà dunque y 



!,t 4.3,0 ' X,X\x" 



— ,2c{ì—p — q )p\] -+- ^p^f -+- "òp^if-^ ìp^q^ -^p\f-¥- i\p'^q -H p^q 

 = 2.0 p^q — icp'^cp' — l^qp'^. 



