Del Prof. Bordoni 89 



più la prima e la terza racchiudono la seconda; e però l'area 

 di questa sarà compresa nel modo noto tra le due delle altre. 

 Ma le espressioni delle aree di queste medesime tre superfi- 

 cie sono ordinatamente, per ciò che abbiamo detto e trovato, 

 aasm.;-^ B, ao¥\-+- D, aos'rn^-+- E; 1 . 



ove si deve osservare che gli a,w contenuti nelle quantità 

 B, D, E hanno almeno tre dimensioni; adunque avrassi 



F' = s'm . 

 Quest'ultima equazione dà immediatamente 



F'=s'm ossia F'=gs'-^- x-{g)s'.Gl{-hy{g)s'.EM, 

 dove g esprime la lunghezza della intera linea percorsa dal 

 centro G e della quale e parte À. Quindi avrassi l'area della 

 intera superficie generata dalla curva AB eguale a 



gfs'dx ■+- x-(g)fGUs'dx -i-y{g)/tìMs'dx, 

 purché le primitive si estendano dal termine A al B cioè dal- 

 la a: = OD alla a==OC; e siccome fsdx = AB, ed fGYls'dx, 

 fìlMs'dx, sono entrambe nulle per essere G centro di gravi- 

 tà della intera linea AB; cosi avrassi l'area della superficie 

 di cui si parla eguale al prodotto g. AB^ cioè della lunghez- 

 za della linea generatrice per quella della linea percorsa dal 

 suo centro di gravità: appunto come si è annunciato sopra. 



3. Dimostrerò l'esposta quistione anco nel modo seguen- 

 te, al quale appoggerò, come vedrassi, la dimostrazione della 

 proposizione reciproca di essa medesima. 



La superficie generata consisterà generalmente in un qua- 

 drilatero ABCD {fig- -2.), che avrà due lati AD, BC paral- 

 leli agli altri due AB , CD eguali fra loro. I due lati paral- 

 leli saraiuio le linee percorse dai punti A , B termini della 

 generatrice, ed i due altri cioè quelli ùa. loro eguali saranno 

 i luoghi nelle estreme posizioni dalla stessa linea generatrice. 



Si intendano riferiti i punti, le linee, e le superficie ai 

 tre assi ortogonali O.r, Or, Oz; e si chiamino a, v, z le coor- 

 dinate rettangole OV, VT, TM del punto M qualunque del- 

 la superficie; e si immaginino in esse le due linee PM, QM, 



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