Del Prof. Pietro Paoli 167 



trova nei limiti, i quali non sono o ed oo come prima, ma 

 0. b ed 00. b, ed avuto riguardo alla variazione di b in que- 



d.f±-l'll 

 sii limiti II ^ non è zero, ma = — -^ . Poiché rappre- 

 sentando col segno ^(x) l' integrale indefinito / ^ ^ -— avie- 



-—^ — - =^ ipi^^^) — rpic. b). 



'^ , il,h\rT.M ,— 00 4 



d4(T) _ e-^ co.-A ''^(~*) 



Ma siccome ^^ = -^- , sarà ^^^ = -^_ = o, e 



dx X db b "^ e 



à 4(0 .1) _i_ 



db b 



7. Si può facilmente assegnare in generale la condizione 

 a cui si deve soddisfare, perchè in un integrale qualunque 



fdxY(x) da o ad — sia permesso di mettere ex in luofro di 



x^ essendo e una costante, ed insieme supporre mantenuti 

 i medesimi limiti. Affinchè l'integrale /V<fxF(cx), in cui do- 

 po la sostituzione si cangia y^^:iF(x), conservi il medesimo va- 

 lore , è necessario che sia questo indipendente da e, e quin- 

 di ne sia nullo tra i limiti dati il differenziale preso pei- rap- 

 porto a e. abbiamo adunque la condizione 



(a) o = ±I^^g^S± = fd:,Y{cx) ^ fcdxi^ . 



Ma essendo e —^ = x ^^^^ , si trova integrando [)er parti 



f,,j, ±F^) ^ f,dx il^ = xY{cx) - fdxFicx) , 

 sostituito il qual valore l'equazione (a) diventa 



e = xF{cx) 

 e deve verificarsi tra i limiti o ed — , perchè salvo il va- 

 lore dell' integrale e conservati i medesimi limiti sia permes- 

 sa la sostituzione di ex in luogo di x. 



Se ne facciamo 1' applicazione all' integrale 



