Del Sic. Gav. Pietro Paoli 267 



Per determinare questa funzione F.p cangiamo nella equa- 

 zione precedente p in q e viceversa, ed avremo 



L.(^, /7)=SL./7 — SL.(/?-|-^)-l-F.^ : .:)-^ 



e siccome {p, q) = {q, p) converrà che sia . ;:i;j 



ZL.p -+- F.q = ^h.q H- ¥.p 

 per soddisfare alla qual' equazione porremo ciascuna delie 

 quantità ¥ .p — I>h.p , e ¥.q — 2L.^ eguale ad una costante 

 L.C indipendente da /? e da q. Avremo adunque 



L.(/?, ^) = L.G -f- 2L./? -4- SL.^ — 2L.(/? -H ^ ) 

 e passando dai logaritmi ai numeri 



{p,q)=zCe 

 Supponghiamo adesso che 1' integrale 2L./? sia determi- 

 nato in modoj che svanisca quando p = 1, lo che è permes- 

 so a motivo della costante arbitraria C, e ponendo q=i ot- 

 terremo 



(/7,i) = Ce = — 



perchè 2L.(/? -f- i) = 2L./7-t- ASL./> = ^Lp -+- L.p. E sicco- 

 me (p, I )=/' X Jj; = -^ , ne segue che la costante C è e- 



p—i 

 guale ali unità , e perciò 



P ■ «' 



SL./j-HSL.y— SL.(/)-*-y) , 



{p,qì=e 



L equazione (p,q)=zL.e non e per ve- 



rità che un' integrale particolare dell' equazione (2,) alla qua- 

 le possiamo più generalmente soddisfare ponendo in luogo del- 

 la costante G una funzione indeterminata <p{p, sen. 2.q}t), ove 

 2n è la circonferenza del cerchio che ha per raggio l'unità, 

 poiché p è riguardata come costante nell' equazione (2) , e 

 sen.a^:;r non varia quando q si cangia in q -i- i . Ma siccome 

 (p, q) ^= {q,p ) , dovrà essere nel caso nostro (p(p^ sen. aqn) 

 ^(p{q,sen.'2pii), la qual condizione viene adempita se siri- 

 duce la funzione ^(^, sen. 2^;r) ad una funzione simile di 



Tomo XX. 33 



