2-58 SuLi/ uso DEL Calcolo ec. 



seti, zpn e sen.2^;r, nella composizione della quale entrino 

 egualmente le due variabili sen. apn; e sen. nqjt. Chiamando 

 ■i^{sen.a;7;r5Sen.a^;r) questa funzione simile, avremo più gene- 

 ralmente 



(p,q) = ip[sen.2.p;r,sen.2.q}i). e 



La funzione ip diventa una costante C, quando ambedue 

 i numeri p e q sono interi, e si dimostrerà come sopra che 

 C = 1 . Lo stesso valore eguale all' unità ha la funzione ip , 

 allorché o 1' uno o l'altro dei numeri p e q è intero. Sup- 

 ponghiamo infatti che sia tale ; ed avremo 



2L.<7 = L.i -hL.2-»-L.3 . . .-{-h.{q — i)= L.{i.!2..3...q — i) 

 2L.(/;-+-t) = 2L./? ■+- L.p 



SL.(/;H-2) = SL.(/?-t-i)-HL.(/7H- i) = 2L.J9-HL. (/?./; -4- i) 

 2L.(^ -<- 3) = 2L.(/7-)-2)-i-L.(/?-i-2)=2L./?-t-L.(/7.^-+-i .js-t-a) 



2L.(/?-H(7) = 2L./;-hL {p. p-^-i. p-i-i . . . . p-i-q — J ) 

 e per conseguenza 



{p>q) = fpi sen.3/>.T, I ). 



. a . 3 ... 5 — I 



p. p-\ri. pH-3. .... p-*-q — l 



Ma dair equazione (a) per mezzo delle continue sostituzioni 

 si deduce nel caso di q numero intero 



ip->ì)= ':^J/.:\i' • (/^. o = : 



1 . a . . . g— I 



/)-t-i. p-i-i . ■ . p-*-q—i ^-«^ ' ' p. jj-i-i . . . p.^q—1 



dunque i/^(sen. 2.pji, i ) = i, e lo stesso avviene quando p è 

 numero intero. 



Se adesso ponghiamo che la funzione '>p conservi il me- 

 desimo valore eguale all' unità, anche quando ninno dei due 

 numeri p e q è intero , avremo in generale , qualunque sia- 

 no /> e 5-, , 



2L./,-HSL.j-SL.(pH-j) 

 (3) (Z?, ^) = e 



