aG8 Sull' uso del Calcolo ec. 



Convieu però osservare che questo resultato si può più sem- 

 plicemente dedurre dall'equazione (io), come ha fatto il Sig. 

 Legendre ( Eserc. T. II. pag. iSy.). 



I medesimi principj somministrano una facile dimostra- 

 zione di un altro bel Teorema dello stesso Autore. Se col se- 

 gno ip{x ) rappresentiamo la somma della serie infinita 



_L H l 1 l I L_ _f_ &.C 



x" (x-^-i)" (a:-4-2)» (x-^-i)" 



ove n è un numero intero positivo, avremo differenziando 



l ììl(x'^) 



dx 



e quindi 



(II I \ n-l-i 



X (ar-t-i) (*-<-') / 



ili {x '= (-') . J: ii£) . 



I .2.3.... n — I , n— I 



ax 



Rimane a trovarsi il valore di 



4){x) = -L_H._L__t-_L_-H-!- H-ec. 



' ^ ' X I-I- I X-l-2 X-f-0 



al quale oggetto ponendo ;»; -t- i in luogo di x otterremo 



il/(a;-H I ) = — 1 ^ 1 ^-^- ec. = i!/(a;) 



cioè '4'i^) = '/'(') — 2. — , ove S — deve determinarsi al so- 

 lito in modo che sia nullo quando a:=i, eia costante i//(i) 

 è infinita ed ^ i -+-— -t- 4- -•- ec. Sostituendo a 2. -^il suo 

 valoi'e 7^x — Z'r avremo 



dhVx 



^(a:)=^(i) + Z'i-Z'a: = i//(.)-4-Z'i-: ^^ 

 e per conseguenza 



