Del Sic. D. Gabrio Piola 378 



vedendo che i due teoremi per la trasformazione delle for- 

 inole integrali duplicate e triplicate erano di tutta importan- 

 za nella Geometria e principalmente nella Meccanica, mi so- 

 no formato la seguente analisi^ la quale potrebbe riuscire ad 

 altri utile come lo fu a me per riconoscere chiaramente la 

 verità di (jueì due teoremi; ed io spero che chi vorrà pazien- 

 temente seguirmi nei calcoli e nei ragionamenti, troverà una 

 risposta adequata alle due proposte ricerche. 



Trasformazione delle formale integrali duplicate. 



I. Premetto un cenno relativo agli integrali semplici. Si 

 desume dalla natura delle funzioni analitiche questo princi- 

 pio; che l'integrale fdx(p{x) preso per la x, che sta nella 

 funzione (p{x) come una variabile semplice, e tenuto incom- 

 pleto somministra una funzione di x ove, se al luogo di det- 

 ta lettera si mette un'altra funzione qualsivoglia x[/?] di una 

 nuova variabile p, si ha lo stesso resultato che si sarebbe ot- 

 tenuto immediatamente dall' integrale fdpip{x[p])x'[p] tenuto 

 parimenti incompleto ; dove x'[p] indica la derivata della x[p] 

 per \ap al modo Lagrangiano ornai generalmente adottato, e 

 che sempre useremo anche in seguito. 



a. Conseguenza diretta del principio antecedente si è che 

 definendo l'integrale fdx(p[x) e dando alla variabile nei due 

 limiti i valori x\a\, x\h\ si ha lo stesso risultato che si ottie- 

 ne dall'integrale fdp'p[x\^p\)x\p\ definito fra i limiti a, b. 

 Il teorema può scriversi come segue 



( . ) /"[[*! dx<p{x) =f[dp^[x[p] ) x{ p] (*) 



(*) Quest.! maniera di scrivere gl'in- 1 gno / la (junntità che esprime il valo- 

 tegrali definiti ponendo ai piedi dal se- I te delU Tdriabile nel primo limite, e in 



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