274 Sulla trasformazione delle Formole ec. 



3. Propongasi l'integrale duplicato 



fdxfdy V ( .r, / ) 

 e si cerchi nella ipotesi che le due variabili debbano mante- 

 nersi sempre fra di loro affatto indipendenti: eseguita la dop- 

 pia operazione , si otterrà una funzione delle due variabili 

 x,y, che indichiamo per U(x,/)5 a cui se aggiungasi una som- 

 ma ¥[x)-^ìp[y) di due funzioni arbitrarie^, avrassi^ come è no- 

 to, l'integrale duplicato completo Non parlando ora di que- 

 sta aggiunta, e riguardando il solo integrale U( or,/) indefini- 

 to ed incompleto, diciamo che se in luogo delle o^, /si pon- 

 gano due funzioni qualsivogliano ^[/^J, /[^] la prima della 

 nuova variabile /?, e la seconda della nuova variabile ^, l'in- 

 tegrale duplicato 



fdpfdq\{x{p] , y [q])x[p ]y\q\ 

 sarà espresso da U(x[/'], 7[^]) essendo la forma U quella 

 stessa trovata precedentemente. Ciò discende immediatamen- 

 te dal principio esposto nel n. i. Di simili integrali duplica- 

 ti, è notissimo che l'ordine da tenersi nelle integrazioni è ar- 

 bitrario, potendosi cominciare da quella delle due variabili che 

 più piace. 



4. Ma gì' integrali duplicati, di cui ora si è discorso, non 

 sono quelli di uso frequente nelle matematiche: tali sono in- 

 vece altri integrali duplicati nei quali le variabili rimangono 

 tra di loro indipendenti in una sola integrazione. Dice Eulero (*) 

 che di questi e dei primi grandissima è la differenza ; perchè 

 quantunque nella prima integrazione si proceda egualmente, 

 quando si passa all'altra integrazione, la variabile che nel 

 primo caso si tratta come una costante, diventa invece in 

 ambi i limiti del primo integrale funzione dell'altra variabi- 

 le. Nondimeno l'inversione nell'ordine delle integrazioni de- 



alto quella che esprime il valore della 

 variabile nel secondo limite, è stata la 

 prima volta introdotta dal Sig. /'nurier; 

 bi adotta in questa memona essendo 



essa presentemente accettata da tutti i 

 Geometri Francesi. 



(♦) Cai. Int. T. IV. 6upp. Vi.$. 7- 



