Drl Sic. D. Gabrio Piola 270 



ve ammettersi anche in questo secondo caso , purché faccia- 

 si nel modo che siam per dire ; come si conosce chiaramen- 

 te tenendo di mira il fine a cui è indirizzata la ricerca dei det- 

 ti integrah duplicati. Infatti la regola che si tiene è questa: 

 eseguita sulla V( x^y ) la prima integrazione per 7, si defini- 

 sce il trovato integrale Ira due valori di y 



(a) y—y{x) ■■, y = y{x) '"" 



che sono radici di una stessa equazione data 



(3) /(;.,y)=C 



poscia la seconda integrazione per x si estende fra due limi- 

 ti a; = a, a; = è, che sono i valori del massimo o del minimo 

 che prende la x considerata nella precedente equazione co- 

 me funzione implicita della /: ossia^ ciò che è lo stesso, so- 

 no due radici di quella equazione a cui si perviene eliminan- 

 do y fra le due 



f[x,y) = o; f\y)=o. 



Così facendo si sa che nelle applicazioni il valore ottenuto 

 esprime la misura di un qualche concreto , per esempio , la 

 quadratura di una superficie piana circoscritta da una curva 

 continua. Ma essendo quel concreto riferito a due coordina- 

 te, non vi è alcuna ragione per la quale una delle variabili 

 debba essere all'altra preferita. Questo è chiarissimo ^ e ne 

 conseguita che il resultato finale deve essere lo stesso, se si 

 cominci ad integrare dalla a; e si estenda 1' integrazione fra 

 i limiti x = x{y); x ■=■ x {y) radici della stessa /(.r,7) = o 



e si passi alla seconda integrazione per / estendendola fra i 

 limiti y=::a, /=:/3 radici di quella equazione a cui si giunge 

 eliminando x fra le due y(^, j ) = c ; y"( ;i;)= o. 



5. Sia dato , come più sopra , l' integrale duplicato 

 fdxfdyS{ x^y), e l' equazione dei limiti f[x,y)-=.o\ e si 

 stabilisca di estendere la prima integrazione per / tra i limi- 

 *' y (*) 5 /_ [x) 1 e la seconda per x tra i limiti a , b. Ora in 



luogo di y pongasi una funzione qualunque y{x, p] dell'ai- 



