•:ì'jG Sulla trasformazione delle Formole ec. 



tra variabile .t e di una nuova/? , e cony'lp] esprimasi la deriva- 

 ta parziale della /[:f,/?] per la/?: si dice che Tintegrale duplicato 



fdxfdp\{x,y[ X, p ] )y\p\ 

 condurrà allo stesso valore finale se la prima integrazione per 

 p si estenda fra i limiti p {x),p [x) valori di p cavati alla 



stessa maniera dalla equazione 

 (4) f{x,y[x,p]) = o 



e la seconda integrazione si estenda fra i limiti a , b come 

 sopra. Ciò sarà provato quando si conosca che la funzione di 

 X preparata per la seconda integrazione , ossia , il che è lo 

 stesso, il resultato della prima integrazione dopo la definizio- 

 ne dell'integrale, sia il medesimo in ambi i casi. L'equazio- 

 ne (i) del n. 2 dà 



(5) /;■;:;«. v( .,r i.,^])/[rf=/;;;;^;;;j^^v(.,^) 



e però la proposizione è provata quando sia vera quest'altra 

 equazione 



(6) / a dyS\.x^y)-=^l a dyy(x,y) 



I I 



la quale suppone le due equazioni 



(7) y\.^->py)\=yy) ■■> y[^vpj.x)]=yj,x)- 



Ora queste equazioni hanno veramente luogo , come è facile 

 a riconoscere osservando che il ritrovamento delle due p {x), 



p {x) radici della equazione (4) conduce primieramente alle 



due equazioni " " '■ 



y\x,p\—y{x) ; y\x,p\=y{x) 



le quali, sciolte per/?, danno poi i valori p-=-p (.t), p=p (^); 



questi valori sostituiti nelle precedenti equazioni da cui so- 

 no cavati, debbono evidentemente renderle identiche, e allo- 

 ra si hanno le equazioni (7). , , , 



