Del Sic. D. Gabrio Piola 277 



6. Presentemente possiamo proporci la trasformazione ge- 

 nerale delle formole integrali duplicate. Sia tutto come al 

 principio del n." precedente, e siano anche date le due equa- 

 zioni 

 (8) x = x[p, g] ; y = y[p, q] 



per le quali le due variabili si esprimono generalmente in 

 funzione di due nuove variabili p, q. 



Dalla prima di queste equazioni (8) si può intendere ca- 

 vata la q in funzione di x, p. .;,_, 



(9) q = q{x^p) : ';. > 



il qual valore, se sostituiscasi nelle (8), le riduce 

 (io) x = x[p,q{x,p)] 



('0 y = y{p->q{^->p)] 



Di queste la prima, cioè la (io) deve essere manifestamente 



un'equazione identica, però insieme con essa sussisteranno 



tutte le sue derivate tanto per x che per p : gioverà notare 



le due prime 



(la) e = x{p) -^ x'{q)q\p) 



(I3) ^=x'{q)q\x) 



l'altra equazione (11) servirà come segue. Vedemmo ( n.° 

 prec. ) che il valor finale dell'integrale duplicato non muta se 

 pongasi in luogo di y una funzione dell'altra variabile x e òi 

 una nuova/?, purché la funzione \[x,y\x,p\ ) si moltiplichi per 

 J^[jP]' ^ ®^ prenda il primo integrale per /?. Poniamo dunque 

 in luogo di y la y[p-> q {x,p)^ data dal secondo membro del- 

 la (ii)j che è veramente una funzione delle due x, p ( non 

 facendo alcuna diflFerenza 1' esservi la p in parte esplicita in 

 parte implicita alla q[x,p)) solamente avvertiamo che la de- 

 rivata parziale per la p avrà due termini^ dei quali il primo 

 sarà dovuto al p esplicito alla q[x,p) e 1' altra al p impli- 

 cito, sarà cioè 



y[p]=y{p)-^y{q)q\p)- 



Questa espressione può subire due cangiamenti , in luogo di 



