Del Sic. D. Gabrio Piola 3719 



7. Cerchiamo ora se nell'ultimo integrai duplicato (i4)^ 

 (i5) si può rovesciare l'ordine delle integrazioni ; e osser- 

 viamo che questo sarà provato quando si arrivi a dimostrare 

 che i valori x = a ., x=b limiti della seconda integrazione 

 sono quelli stessi a cui saremmo giunti cercando nella equa- 

 zione (16) dei limiti i valori del massimo e del minimodella 

 stessa X considerata come funzione òip { n." 4- )• Questo poi 

 è cosa assai facile: perocché le equazioni, dalle quali j elimi- 

 nata p , si hanno per x i valori del massimo e del minimo , 

 sono la stessa equazione (16) e quest'altra 



ossia , dividendo quest' ultima pel secondo fattore, le due 

 ('7) f{x^y[P^^{^op)]) = o ; f'{y[p,q{x,p)]) = o. 

 Ora si vede subito che la p si elimina fra quest' ultime due 

 eliminando tutta la (unzione y[p, q{x ,p)], la quale opera- 

 zione dà lo stesso resultato che si sarebbe ottenuto eliminan- 

 do la y lettera semplice fra le due f{x,y):=o; f'{y) = o , 

 come al n." 4- 



8. Pertanto invertiamo le integrazioni nell' integrale du- 

 plicato (i4) o (i5), cioè incominciamo dalla a; , integrando fra 

 i limiti X = X {p) , X -^x {p) desunti dall' equazione (i6)j e 



poi passiamo all'integrazione per/? fra i limiti /?:=:/??, /? = « 

 che sono i valori del massimo e del minimo ottenuti elimi- 

 nando X fra le due 



(18) f{x,y[p,q(x,p)]) = o ; f\x)-^f{y)y\q)q\x)=o 

 la qual seconda è la derivata della prima presa per rapporto 

 ad X. Otterremo cosi primieramente 1' integrale 



(■9) r^\'\d^np^q{^^p))qV) 



il quale, pel n.° a, eguaglierà quest'altro 



J q{i (p)p) .. 



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