a8o Sulla trasformazionb delle Formole ec. 



e quest' ultimo eguaglierà l' integrale 



(.1) r^''ldq'l[p,q) 



J ?i (p) 



che è, come si vede, definito fra i limiti q-^q (p), q=q {p), 



i quali sono radici della equazione 



(aa) f{4P>9]'AP^'i]) = '^ 



sciolta per q ; non essendo questa equazione che la (3) col- 

 la sostituzione dei valori (8) . Sarà provata 1' eguaglianza dei 

 due ultimi integrali quando siano provate le equazioni 

 (a3) ■ q{x{p),p) = ql^p) ; q{x J,p) -, p) = q jp) 



e queste provansi nel modo seguente. L'equazione (i6) a mo- 

 tivo della (io) può scriversi 



f{x[p, q{x,p)],y[p, q{x,p)]) = o 

 Sciogliere ora questa equazione per :*; e cavarne i valori 

 X [p) , X (p) richiede che prima se ne cavi la quantità com- 

 posta q{x,p): il che facetido si ia come sciogliendo la (aa) 

 per q. Si hanno cosi per q{x,p) due valori q{x,p)=: q (/?); 



^( ^j/') =7 (/?) e da queste equazioni si hanno poi i valori 



X {p), X (p) che risostituiti nelle equazioni stesse mostrano 



la verità delle equazioni {a3). •• 



9. Passando presentemente all'altra integrazione per/;, 

 osserviamo che le equazioni (18) a motivo delle (io) , (i3) 

 possono scriversi 



f{x[p, q{x,p)],y[p, q{x,p)] ) = ; f'{x)x{q)-^-f'{/)y{q)=0 



e che si elimina fra queste la x eliminando la funzione q{x,py, la 

 qual' ultima operazione conduce allo stesso resultato che l'eli- 

 minazione della q espressa con una lettera semplice fra le due 



(4) /(4/''?]'/[/'W]) = o ; f(x)x'(q)-i-f'(y)y{q)=zo. 



e questo si sa essere il sistema delle due equazioni dalle qua- 

 li , eliminata q , si hanno i valori del massimo e del minimo 



