Del Sic. D. Gabrio Piola 281 



della p considerata nella (aa) come funzione implicita della 

 stessa q. 



IO. Raccogliendo le cose dette nei due numeri preceden- 

 ti si vede che rovesciando nell'integrale duplicato (i5) l'or- 

 dine delle integrazioni e prendendo la prima per x fra i li- 

 miti X {p) , X {p) desunti dall'equazione (lò), e la seconda 



per /? fra i limiti jt? = m ,/? = « desunti dal sistema delle (18) 

 dopo averne scacciata la :c : si ha lo stesso risultato che si 

 ottiene dall' integrale duplicato 



fdpfdq1{p,q) 



estendendo la prima integrazione per q fra i limiti q {p) -, 



q (p) radici della (aa) e la seconda integrazione per p fra i 



limiti p = m , p = n che ottengcnsi dal sistema delle {a4) , 

 scacciata la q. Ma si può ( n." 7. ) rovesciar l'ordine delle 

 integrazioni nell'integrale (i5) sènza alterare il valore finale, 

 e lo stesso integrale (i5) preso culle integrazioni dirette (n.° 

 6. sul fine) eguaglia l'integrale duplicato y^^/.ry"f/xV(:r,/) pre- 

 so come si è detto al principio del n." 5: adunque, rimetten- 

 do per T{p,q) il suo valore ( n.° 6. ) , si ha finalmente il 

 Teorema desiderato, cioè 



,, L'integrale duplicato fdxfd/'V{x,y), presa la prima 

 ,, integrazione per y fra i limiti y [x) , y (x) desunti dall' e- 



I St, 



„ quazione f(x-,y) = o , e la seconda integrazione per x fra 

 „i limiti a, b, che si cavano, scacciata la/, dal sistema del- 

 „ le due /(x,7) = o , /'(y) = o: presenta lo stesso valore fi- 

 „ naie dell' integrale duplicato 



(a5) fdpfdqy{x[p., q] , y[p, q]\ x'{q)y{p) -y{q)Ap)\ 



„ prendendo la prima integrazione per q fra i limiti q (p), 



„ q (p) dedotti dall' equazione f(x[p, q],y[p, q]) =0, e poi 



„ la seconda integrazione per/? fra i limiti /? = w, /> = « ca- 

 ,t vati dalle due 



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