282 Sulla trasformazione delle Formole ec. 



" fi4P>^hx[P'g]) = o ; f\x)Aq)-^ny)y{q) = o. 

 „ dopo averne eliminata la q. 



ir. E chiaro [n." ^) che se nelP integrale duplicato pro- 

 posto può invertersi l'ordine delle integrazioni, potrà anche 

 ìnvertersi nell' integrale duplicato (aS) risultante dopo la (ras- 

 formazione. Vedemmo infatti che nelle equazioni (24) havvi 

 la stessa relazione formata colle nuove variabili p, q^ la stes- 

 sa dipendenza per la ricerca del massimo e del minimo che 

 al 11.° 4- <^i persuase ad ammettere l' inversione. Se dunque 

 l'integrale (a5) s'incomincia da /? e si estende fra due limi- 

 ti p {q) , p {q) radici dell' equazione f{-i[p,q\ '/[/'^ ^] ) = o, 



e poi si passa alla seconda integrazione per q estendendola 

 fra i limiti q ■=z fx^ q=-v che si ottengono dalle equazioni 



f^Ap^ q\ ' y\p^ ^] ) = o ; f'{x)x\p) ^f\y) y{p) = o 



dopo avere eliminata la p: si avrà lo stesso valore di prima, 

 e il valor finale sarà ancora eguale a quello che si ha dall' 

 integrale duplicato /Jj;/tì?/V(a;, 7) preso alla maniera più vol- 

 te esposta. 



la. Rimane ad avvertire, come fanno tutti gli Autori, 

 che il binomio 



^'W{p)—yi^)Ap) 



può a piacimento avere il segno contrario: il che si fa mani- 

 festo ripetendo da capo le operazioni esposte in questo para- 

 grafo e solo cambiando ( ciò che è in pieno arbitrio ) fra di 

 loro le variabili x, y. 



S- n. 



Trasformazione delle formole integrali triplicate. 



i3. Propongasi l'integrale triplicato 

 (a6) fdxfdyfdzS{ x,y, z) 



e 1' equazione dei limiti 



