a84 Sulla trasformazione delle Foumole ec. 



assi orrogonali , si abbia delle tre coordinate a scegliere una 

 in preferenza delle altre: segue di necessità che sortirà sem- 

 pre Io stesso valore finale qualunque sia l' ordine con cui si 

 prendono le tre variabili nelle integrazioni. 



i5. La trasformazione generale di questi integrali tripli- 

 cati si può dimostrare nel modo seguente. Siano date tre equa- 

 zioni per le quali le tre prime variabili si esprimano col mez- 

 zo di tre nuove p, q, r 



(3a) x = x{p,q, r\\ y=zy[p,q, r]; z = z{p,q,r]; 



e prima di far la sostituzione di questi valori sotto l'integra- 

 le triplicato (-26) vediamo alcune conseguenze delle poste 

 equazioni (3^) che ci saranno necessarie nel progresso. 



Immaginiamo clie dalle due prime si cavino i valori di 

 o, r per a;, /, e p, dimodoché quelle possano esprimersi per 

 queste colle equazioni 



(33) qz=q[x^y,p) ; r=sr{x,y,p); 



se le funzioni che formano i secondi membri di quest'ultime 

 si sostituiscano in luogo di q, r nelle stesse equazioni da cui 

 furono dedotte, si avranno manifestamente le equazioni iden- 

 tiche 



(34) x=x[p,q{x,y,p),r[x,Y,p)\; y=y{pyq{x^y>p)A^'y^p)\-> 



e se le medesime funzioni pongansi allo stesso modo nella 

 terza delle (3a), avrassi di più quest' altra 



(35) z — z[p, q(r,y,p) , r{x,y,p)]. 



Ora essendo identiche le equazioni (■^) sussisteranno insieme 

 ad esse tutte le loro equazioni derivate prese per p, per x, 

 e per /. Al nostro caso non giovano che quelle di primo or- 

 dine ; avremo pertanto le due derivate prese rapporto a /> che 

 saranno 



(36) ° ~ ^'^^^ "^ ""'ilWiP) -*- Ar)r{p) 



f^ =y{p) -^y\q)q'{p) -^yi^Vip)^ 



le due derivate rapporto alla x 



