Del Sic. D. Gabrio Piola 287 



dei due limiti 2 {x,y) , z {x,y) nel primo integrale della equa^ 



sione (43) vi fossero queste altre quantità 



z[p,qix,y,p {x,y)), r(x,y,p {x,y))], 



la verità della detta equazione sarebbe una immediata conse- 

 guenza del teorema del n.° a ; perchè dunque sia vera l'equa- 

 zione (43) tale come sta, bisogna che siano identiche queste 

 altre 



4/^' gi^r'X'P^i^^y))' r{x,y,p^{x,y))]=:z^{x,y) 



4P' ^(^'/'/'J^' y)) ' r{x,y,pj^x,y) )]=z^{x,y) 



il che facilmente si dimostra osservando che per cavare i due 

 valori/? {x,y),p {x,y) dalla (44) si comincia a cavarne la « 



composta come facevasi della z semplice sciogliendo l'equa- 

 aione (27) per dedurne le (i8). Così si hanno per la z com- 

 posta due valori che sono 



z[p, q[oÉ,y,p) , r{x,y,p)]=z z^[x,y) 



e queste equazioni, sciolte separatamente per rispetto alla/>, 

 danno i due valori/?^/? (x, /);/?=/? {x,y) i quali risosti- 

 tuiti nelle stesse equazioni da cui furono dedotti le rendono 

 identiche, venendo in tal modo dimostrate le (45)- 



18. Essendo vera l'equazione (43) fra gl'integrali sem- 

 plici, è manifestamente vera anche la seguente fra gl'inte- 

 grali triplicati 



h y (x) z (x,y) 



(46) f'i' l'i /''^ V(x,/,«) 



I I 



* y {X) p (x,y) 



= / dxl dy I dp V(a;,/, z{p, q[x,y,p), r[x , y\, p)]z[p] 



J aJ y (x)f p {x,y) 



