Del Sic. D. Gabrio Piola 389 



19. Poiché dunque può farsi, inveì tiamo le integrazioni 

 nel secondo integrale della (46) tenendo in ultimo quella per 

 p. Prima però sostituiremo alla z\p\ il suo valore dato dalla 

 (4a) , e osserveremo che a motivo delle e(]uazioni identiche 

 (34) la (44) si F"° scrivere senza alterazione 



f\x{p, q{x,y,p) , r[x, y, /?)] , ; [/?, q{x,y,p) , r{x, y,p) ] , 

 z[p,q{x,y.p), r{x,y,p)]\ = o 

 e la quantità N[x, y, z[p, q{x,y,p), r[x, y,p)'\) parimenti 

 V \x{p, q{x,y, p) , r(x, y,p) ] , y[p, q{x, y,p), r(r, y,p)], 

 z{p,q[x,y,p), r{x,y,p)]\. 

 Quindi è che ponendo per brevità 



(48) x[p, q, r\ =fix[p, q, r],y[p, q, r] , z.p, q, r] ) 



(49) T[/>, q, r] = Y(x[p, q, r]y[p,q, r],z[p, q, /■]) t [/>, q,r\ . 



dove la S[/7, ^,r] è quella della equazione (4')» e le ^ , r 

 stanno come lettere semplici: l' integrale triplicato può scri- 

 versi 



(50) fdpjdxfdyl[p, q{x,y,p) , T{x,y,p)\\q\x)r{y)—r{x)q\y) \ 

 e parimenti 1' equazione dei limiti 



(5i) x[p,q{x,y,p). r{x,y,p)] = o. 



11 precedente integrale triplicato dovrà essere preso primie- 

 ramente per / fra due limiti y {x,p), y {x,p) radici dell'e- 

 quazione (5i), poscia per x fra due limiti x {p) , x (/>) de- 



I a 



sunti dall'equazione che risulta eliminando/ fra la (5i) e la 

 seguente 



(Sa) x{q)q'(y) -f- x'{r)r{y) = o ; 



e in ultimo per p fra i lìmiti p = a, p:^ fi radici dell'equa- 

 zione risultante dopo l'eliminazione di x,y fra la (Si) la (Sa) 

 e la seguente 



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