3g6 Sullo Sviluppo delle funzioni in serie 



funzione ip ordinato per le potenze di un' altra funzione 

 F(x) - F{a). 



Se per esempio ìp = b , F(x) = e , ed a = o, sarà 

 -T^ = è^ log.^, F'(x) := c'Iog.c , e posta m in luogo di ^^ sa- 



j I dij/ 



d -^—d ■^— ^ 



, • F\x) ' r(x) dx m(m— i)(m— a) , * —3* „ 



f'(x) a.Scij» a.3 



e quindi i 



£>"=I+m(c"-l)-HÌ^i^(/-l)'H- "»<-"-')(-"--) (/- if-H&C. 



Quando F(a) = o , avremo lo sviluppo di ip secondo 

 le potenze di F{x) , ed in luogo di a dovrà prendersi un va- 

 lore di X, che soddisfaccia all'equazione F (x) = o. Tante 

 adunque saranno le serie , quanti i valori di x, che rendono 

 F{x) nulla; ma acciò lo sviluppo sia possibile, è necessario 

 che per un dato valore di a non abbia F{x) altri fattori egua- 

 li ad X — a, perchè altrimenti sarebbe F'(a) zero , ed i coeffi- 

 cienti della serie riescirebbero infiniti. 



3. Rimanendo ip funzione della sola x sia più general- 

 mente z=F(x) — F(a) — y(p^ ove anche (p sia funzione di 



x . Avremo — = F'{jr)— y -^ , e quindi X = — ' — , 



dx ^ ' -^ dx ^ ^,, > dà 



^ = _ ! . ^ , ^ ^ _ : . fV^ , e poiché 



z diventa — y(p quando vi si pone x = a, otterremo in que- 

 sto caso 



ip ■=: ip — a y(p -j- a y^(p* — a y^(p^ -+- &c. 



