Del Prof. Pietro Paoli 897 



ove nel secondo membro si deve porre x= a. Ora se si vo- 

 lesse ordinare questa serie per le potenze di j, è chiaro che 

 il coefficiente di y sarebbe 



(, r r — 1 da , r — a d^a ^ d^^^ a . 

 (p.a—<p . '-'-^(p '.IZl...±(Ò L_\ 

 ^ ^^ ^ ^dr ^ ,.3..,d/-') 



ove il segno superiore ha luogo quando r è pari , e l' infe- 

 rioi'e quando r è dispari , purché dopo le differenziazioni si 

 faccia y = o. 



La formola (A) è molto complicata , e per poterne far 

 uso convien calcolare le quantità a , a . . . . a . Ma anche 



la r 



senza conoscere i valori di queste quantità, dalla sola rela- 

 zione che hanno tra loro , si può ricavare una espressione 

 assai più semplice del coefficiente di/'. Si osservi primiera- 



, , , . 1 da 



mente clie 1 equazione a =— • . ^~' posta sotto 



F'(:r) — y ^ "^^ 



^ ' ■' d.T 



la forma / V{x) — 7 ^ ) « = — ^^1=1-. e differenziata n vol- 

 te per rapporto ad/ ci dà, l'F'{x)—y^\ 



d , a 

 n 



dy 



d^ <J' '^. d a_^ 



dy rdxdy'' 



" dZ zr~^^ — ' ^' — " • ^^^ posto invece di (A) con- 

 dir rdxdy'' 



sideriamo la formola piìi generale (B) 



(B) ^<pa-±^'- t^^^lpl^'-^^!:::^^^A 



V ^ '^ dy r(r— i)T- ^^^, J 



la quale si cangia nell'espressione (A) se vi si pone s = r, 

 e cerchiamone il valore nel caso di y=.o. 



Siccome riguardando j ed .y come costanti la formola (B) è 

 una funzione di r e di a; , facciamola = P , e cangiando r 



in r -t- I avremo 



