4oa Sullo Sviluppo delle funzioni in serie 



allo sviluppo della funzione rp{x) in una serie ordinata per le 

 potenze della funzione F{x) — F {a). 



6. Data 1' equazione F (x) — F{a) — ypix) — tZ{x) =o , 

 la quale contiene un' altra variabile t 3 se ponghiamo 



(p{x) -+- — À{x) in luogo di (p{x) nel valore di ^ , sarà 



y 



d .x{f{x)^:Lx[x)) _ _ „ 



- il coefficiente di y nella serie , che 



1.2.3. ... ; ndx 



rappresenta il valore di i/;(a;). Di qui facilmente apparisce^ che 

 volendo ordinar questa serie per le potenze ed i prodotti di 



n — r r 



y e ^ , se chiamiamo a il coefficiente di y t 3 avremo 



n—r,T 



^ f~'\x~"<p(x)"^' À(xÌ ^'(x) 



n(n—i) . . .(n— r-t-i) Z±J. ^ i ^ ^ ' . 



q = 3 . _ n — I 



^n—T,T i.a.3. . . r 1,2.3 ndx 



/".X""(p(x)""'A(x)V(x) ^ ," 



i.a . . .( n—T) 1.3 .. . rdx 



posta X ^ a dopo le differenziazioni. 



7. Noi non ci tratterremo a percorrere i casi , in cui 1 

 1' equazione data conservando la medesima forma contenesse 

 un maggior numero di variabili, i quali dopo ciò che abbia- 

 mo detto non presentano alcuna difficoltà ^ e piuttosto osser- 

 veremo che le formole descritte nei numeri antecedenti, ed al- 

 tre simili espressioni inservienti allo sviluppo delle funzioni 

 in serie, non sono che semplici coroUarj di un teorema più 

 generale dovuto a Laplace , a cui non sembra che i Geome- 

 tri abbiano fatto molta attenzione , perchè appena accennato 

 dall'Autore, senza addurne alcuna dimostrazione ^ sul termi- 

 nare di una sua Memoria inserita tra quelle dell' Accademia 

 Reale di Parigi per l'anno 1777. 



Data tra le variabili x eà y V equazione 2 = 0, alla | 

 quale nel caso di / = o soddisfaccia x^^a, se sia proposto 



