Del Prof. Pietro Paoli ^oS 



di svolgere una funzione qualunque tp delle medesime varia- 

 bili in una serie ordinata per le potenze positive di / , e si 

 chiami q il coefficiente di /", sarà 



n 



jU 



q. 



= ___£1±___ — 



„ /^log.z 

 a .{x — a) 



i.;i.,.ndy"- 



x.a.3...«fy" i.a.3 {n~i)dx 



n — I 



ove si debbono riguardare a; ed / come indipendenti tra lo- 

 ro , e porre 7^0 dopo le differenziazioni relative ad / , ed 

 x=a dopo tutte le differenziazioni. 



Sia ip funzione della sola x,ez = F{x) — F{a) — y(p, es- 



/glog.^ 

 sendo pure funzione della sola x-, avremo : = 



df , d''\og[F(x)-¥(a)-y<fi] ___ d^ 0" _ 



dx i.a.:ò....ndj-^ dx ' n[F(ar)— F(a)— j^]' 



— -3Ì 1 quando y = o, e siccome -3^=0, sarà 



j"-» / T-g Y A^ d^ 



_ ^ •\vix)-n-)) ^ di 



" i.a.3 . . . ni«"~' 



come sopra (5). Lo stesso resultato potremmo ancora ottene- 

 re dal teorema di Lagrange ponendo 1' equazione 



Y{x)—Y{a)y(p=. o sotto la forma x —a—y i^~^jf , = o. 



8. Quantunque abbia dato due dimostrazioni del teore- 

 ma di Laplace negli Atti della nostra Società T. IV. e T. VIIL, 

 r importanza del medesimo ed il non conoscere che da altri 

 ne sia stata confermata la verità, mi muovono ad esporre una 

 terza dimostrazione , che è per qualche lato un poco più sem- 

 plice delle altre. L' equazione z = e posta ^ = o si ridurrà 

 ad una equazione X = o tra x e costanti, la quale ci som- 



