4i4 Sullo Sviluppo delle funzioni in serie 



posto, come sopra, y ■=. o dopo le diflPerenzlazìoni relative ad 

 /, ed j; = a dopo tutte le differenziazioni. 



Laplace assegna in generale il precedente valore al coef- 

 ficiente di / nello sviluppo di ip^ quando la funzione z nel 



caso di / = o è divisibile per [x — a). Risulta dalla nostra 

 analisi la verità di questo teorema quando i =r r , se però i 



è >• ij ^ non esprime che il coefficiente di y nella serie, 

 la quale è il medio aritmetico tra tutte quelle, che rappre- 

 sentano il valore di ip dipendentemente dal fattore [x — a) . 

 Ma questa serie media non somministra il giusto valore di i//, 

 come può mostrarsi con un esempio semplicissimo. Sia data 

 l'equazione z = (.f — aY —y^{b -\-cxY = o^ e si voglia svolge- 

 re il valore di x in una serie ordinata per le potenze di /. 

 Saranno x — a — y{h-\-cx), x — a — ^y{h-ì-cx), x — a — ^'^y[b-\-cx') 

 i fattori di z, ove i , ;3 e /?^ rappresentano le tre radici cubi- 

 che dell' unità, e questi fattori ci daranno le tre serie 



x-==.a-^{ac-^h)y-\-c{ac-\-h)y'^-\-c\ac-¥-h)y^-^c\ac-Jrh)y^-^&ic. 



a;=a-H/?(ac-H-è)/-H/?*c(ac-f-Z')/^-t-c'(ac-HZ')j^-f-/?c^(ac-HZ')j'>-i-&c. 



:»;=a-t-/3*(ac-f-è)7-H/?c(<zc-t-è)jy*-l-c='(ac-HZ»)y'-+-/5*c'(ac-f-Z' )/*-+- &c. 



ciascuna delle quali soddisfa all'equazione s =r o. Se pren- 

 diamo il medio aritmetico tra questi tre valori di x, avremo 

 la serie, che ci dà il teorema di Laplace, cioè 



x-=.a-\- c\ac-¥- h)y^->r- c\ac -4- è)/*-+-&c. 



la quale però non soddisfa all'equazione z = c. 



Quantunque la precedente dimostrazione sia un poco me- 

 no complicata di quella data da noi nel T. Vili, della Socie- 

 tà, lo è tuttavia abbastanza per far desiderare, che i Geome- 

 tri prendano la cura di sostituirgliene un' altra più semplice. 



