5io Sulle Superficie ec. 



di tangente alla superficie in cui questa linea è tracciata. 



Concludiamo adunque clie la superficie luogo delle evo- 

 lute di una curva qualunque è l'inviluppo dei piani norma- 

 li a questa linea, ossia è una superficie sviluppabile di cui 

 uno spigolo è la retta che unisce i punti non comuni alle li- 

 nee p ed ni. 



Corol." 3." Se l' inclinazione dello spigolo di regresso ad 

 un piano qualunque zOx è costante, cioè se ^ = cost.; avre- 

 mo 7"=TO"sen.A ec; ma per una sviluppata qualunque di quel- 

 lo spigolo si ha 7?z"=o per cui y=o, ossia y=.h.s-\-Vt ove A , 

 B rappresentano due costanti: dunque ciascuna di quelle svi- 

 luppanti ha una costante inclinazione al piano nominato , il 

 che non concorda con quanto asserisce il sagacissimo Bobi- 

 lier nel volume 17.° degli annali di Gergonne. 



PROPOSIZIONE NONA. , 



Date le equazioni dello spigolo di regresso di una super- 

 ficie sviluppabile , si domanda quella della linea brevissima 

 che congiunge due punti qualisivogliano della medesima su- 

 perficie. 



Sia M/re la linea brevissima di cui si cercano le equazio- 

 ni. Siccome il piano osculatore della medesima deve essere 

 ovunque perpendioolare alla superficie sviluppabile in cui quel- 

 la linea è tracciata, dall'equazione (i5) supposto 



Ang.°/9.m =190". si avrà . , ,„ . - . 



è^{rn.v^=^ Oj ossia e-+- {in.v) = a costante. 



Essendo poi cos.nz./^u = cos./tz u l'equazione (16) fornirà la 

 seguente .:/i; 1 1. -^ 



E' = i&^xi.ni.v. 



Ciò posto, siccome m = R ( i -+- m' ) tang.w.u. ossia 

 jy{ — ''°t<^— ^) „^_. — i^ integrando col metodo noto questa equa- 

 zione alle derivate del primo ordine, si avrà 



