5^4 Sulla Teoria delle Funzioni ec. 



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Dichiarazione del princìpio di Discontinuità 

 nelle Funzioni. 



1. Aduna variabile in una forinola si può attribuire un 

 numero indefinito di valori^ di cui ciascuno può differire dall' 

 antecedente e dal seguente meno d'ogni quantità assegnabile. 

 Questa maniera di dire è sinonima ma forse più chiara dell' 

 altra comunemente usata, che i valori della variabile cresco- 

 no o calano per gradi insensibili. Una variabile la quale nella 

 questione che si ha di mira deve prendere una tale succes- 

 sione di valori, dicesi avere un corso continuo. Or ecco un 

 principio fondamentale nella presente teorica; se il corso della 

 variabile è da — co a -H co, certamente il numero dei valo- 

 ri diversi eh' essa può prendere è matematicamente infinito: 

 ma è infinito anche il numero dei valori diversi che può pren- 

 dere la variabile nel suo corso particolare fra due limiti a, b 

 grandezze finite di cui la seconda supera per ipotesi la prima 

 di una differenza assegnabile: di più se questo tratto si divi- 

 de in un numero finito di parti, è infinito anche il numero 

 dei valori diversi possibili a prendersi dalla variabile dentro 

 il solo tratto che corrisponde ad una di queste parti. Così 

 per assegnare un numero matematicamente infinito di punti 

 in Ulta retta, non è necessario che la retta si estenda all' in- 

 finito da ambe le estremità : anche in un brevissimo pezzo 

 di essa, purché sia di finita lunghezza , è infinito il numero 

 dei punti che vi si possono distinguere, se non coli' atto cer- 

 tamente col pensiero. 



2. Le equazioni identiche, nelle quali i due membri so- 

 no formolo diverse di forma ma eguali di valore , sussistono 

 in generale per tutti i valori possibili delle variabili da — co 

 a -Kco, ed anche immaginar]. È vero che si dà qualche ca. 

 so di eccezione : per esempio 1' equazione tra la funzione di 

 una variabile e il suo sviluppo colla serie di Taylor può di- 



