578 Sulla Teoria delle Funzioni ec. 



mento potrà esistere come limite di tutti quegli altri risulta- 

 meuti che si otterranno crescendo continuamente il numero 

 delle equazioni (a), e che ad esso sempreppiù si avvicineran- 

 no. Allora l'equazione (3) avrà nel secondo membro una se- 

 rie infinita: e i valori dei coefficienti A , A , A ... saranno 



1 s. 3 



i limiti verso i quali continuamente convergeranno al cresce- 

 re di n quelle funzioni dell' indice stesso n , che per essi si 

 cavano dalla soluzione delle equazioni (a). Una tale equazio- 

 ne (3) avente nel secondo membro una serie infinita, sarà ve- 

 ra per tutti i valori di x compresi fra a e b, ma pei valori 

 di X prima di a e dopo b sarà falsa. I corsi delle curve pia- 

 ne le cui ordinata sono espresse -dai due membri della equa- 

 zione suddetta coincideranno perfettamente per tutto il corso 

 della ascissa da a a ^, ma prima e dopo saranno distinti. Ec- 

 co la stessa proposizione enunciata al numero a. 



5. Scriviamo 1' equazione (3) quando il secondo membro 

 è una serie infinita giusta l'esposto nel numero precedente 

 e poniamo 



(4) (p{x)—k 7p {x)-\-A ip {x)-+- À.i//(a)-H. .. all'inf 



dove le À , A , A, , ecc. marcate con un punto in alto, sono 



1 a a 



le A , A , A , «co. nelle quali è stata fatta n=co. Dietro un 

 I a 3 



principio noto nella teorica delle serie si potranno anche in- 



tendere i coefficienti A , A ^ A„, funzioni dell' indice, 



120 



cioè dedotti tutti da una medesima funzione A. dell' indicci 



i 



in cui facciasi successivamente z=i, a, 3, . . . . ec. Difatto si 

 capisce che potendosi nel secondo membro della precedente 

 equazione senza alterarne il valore, cambiare i termini fra di 

 loro di posto in tutte le maniere, la ragione per cui uno qua- 

 lunque dei coefficienti A ^ A , A ec. diversifica dai compa- 



* I a 3 



gnì, non può venire da altro se non dall' essere esso coeffi- 



