Di Gabrio Piola ' ■■"- Séf 



infinita anche w, ma il rapporto— è finito ed eguaglia -^^ 

 talché a-\-mo diventa h. Allora i coefficienti A , A , A .... 



I 2 3 . 



prendono i valori limiti che si cavano dai loro valori gene- 

 rali dedotti dalla soluzione delle equazioni (a), ove pongansi 

 m, n infinite : essi dipenderanno unicamente dalle tre forme 

 <^, ^, ip, e dai tre valori a, b, e. La serie infinita del secon- 



do membro della (4)5 che può indicarsi per S Aì.A/iplx) sa- 

 rà una tale funzione di x , che per tutti i valori di x da a 

 a b darà gli stessi risultamenti della funzione <p{x), e per tut- 

 ti i valori di ;c da Z* a e darà gli stessi risultamenti della fun. 

 zione xi^). E evidente che se invece di due funzioni ip[x) , 

 ^{x) ne prendessimo tre , potremmo collo stesso metodo co- 

 struire una serie infinita ( da compendiarsi poi mediante la 

 sonunatoria ) la quale per un certo tratto finito del corso del- 

 la variabile avrà tutti i valori coincidenti con quelli cavati 

 dalla prima funzione, per un tratto seguente li avrà coinci- 

 denti coi valori cavati dalla seconda funzione^ e per il terzo 

 tratto li avrà coincidenti con quelli cavati dalla terza. Que- 

 sta speculazione si estende senza difficoltà al caso di un nu- 

 mero qualunque di forme che si cambjuo nei primi membri 

 delle equazioni (a). Se allora si prenda l'espressione integra- 

 to- 

 le 2 Ai.Aìplx) per l'ordinata di una curva piana, è chiaro 



che una tal curva sarà discontinua: il suo corso andrà d' ac- 

 cordo per un tratto finito dell' ascissa colla curva dell' ordi- 

 nata (p{x), pel tratto seguente dell'ascissa colla curva dell'or- 

 dinata %{x), e cosi di seguito. Pertanto una sola espressione^ 

 che non si muta mai , tradotta alla Geometria potrà rappre- 

 sentare contorni discontinui. 



7. Meritano singolare attenzione quelle espressioni che si 

 trovano dietro il principio del numero precedente, e che con- 

 tenendo una variabile, pure conservano per un tratto fi.nito e 

 anche infinito del corso della variabile un valore costante che 



