Di Gabrio Pioi-a $i^ ' 



che può anche scriversi (*) 



(a3) (p{x) = J-J ^^da4{a)J'^Jp.co%.{p[x-a) ) . 



Questa è l'insigne formola di Fourier che è vera per tutti i 

 valori di ar da — co a -Hco^ Per essa la variabile x è tolta di 

 sotto al simbolo generale (p di una funzione qualunque e po- 

 sta unicamente sotto uq coseno: per essa tutte le derivazio- 

 ni e integrazioni j anche nel sistema delle differenze finite, 

 che sulla <p{x) non si possono che accennare ^ si eseguiscono 

 invece immediatamente : e si giunge anche ad esprimere le 

 derivate e le primitive d' indice frazionario colla stessa faci- 

 lità come quelle d' indice intero: il che apre la strada a trat- 

 tare un infinito numero di trascendenti di nuova specie. Es- 

 sa è il fondamento di gran parte dei nuovi calcoli, e può ve- 

 ramente riguardarsi per una grande scoperta analitica. 



Noterò che anche dalla (i4) del n.° la. con un ragiona- 

 mento affatto simile al precedente si cava la 



(24) ^W= — / da.<p[a) I dp. sin. pasìn.px , "^ 



la quale però non è vera se non pei valori positivi della x. 

 18. È noto che la (aS) si estende facilmente ad una fun- 

 zione (p\^x, y.^ Zj....) con un numero n di variabili: giacché 

 si comincia a toglierne la x per sostituirvi una costante den- 



(*) Due teoremi del calcolo degli integrali definiti , il primo dei quali vale per 

 render ragione dell'attualo passaggio , e 1' altro riesce necessario da qui a poclie li- 

 nee, sono i seguenti 



/" j ri \ f"' 7 /•/ \ '^ '° sviluppo di f{x) per le potenze intere 



ax J [Xj =2, / clx.J \Xj e crescenti di x non contiene che potenze pari. 



f 



a Se lo sviluppo di f(x) per le potenze intere e 



dx.f[x) = O crescenti di x non contiene che potenze dispari. 



-a 

 Entrambi si dimostrano subito sostituendo a f{x) gli «viluppi in serie. 



