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Di Gabrio Piola 633 



dove è A:i;=o, Ai=i. Esso si prova subito sciogliendo i due 

 membri nelle due serie equivalenti mediante le (ce), (/?): que- 

 sto è il teorema usato nella memoria ai n.' ii. i3. 



IV. Essendo b =:a-\-mo, e ■=■ a -\- na è 



2* AxMx) -4- 2" Ax4[x) = 2" Ax.(p{x) "'^' ■ 



a b ii 



come nel caso analogo degli integrali continui : il teorèma si 

 prova colla forniola (a) precedente. 



V. Tutte le serie infinite di cui si conosce la somma ( e 

 grandissimo ne è il numero in analisi) somministrano altret- 

 tante formole integrali definite fra 1 ^ co date per espressioni 

 finite e note. Per un esempio la notissima 



SI l 



a -\- a -f- -H a -i-ec. 



h cvro ;; i.\ 



si traduce a motivo della (y) nella forinola 



, 1— « 



la quale è però soltanto vera quando a <C i , ossia quando la 

 serie infinita è convergente. 



VI. Il principio della derivazione e integrazione per le 

 costanti, che nel calcolo degli integrali definiti continui con- 

 duce a tanti nuovi risultamenti , vale similmente anche per 

 gì' integrali di cui parliamo : si possono addurre ben molti 

 esempi in cui esso somministra formole riconosciute altrimen- 

 ti per vere. . : ; - 



VII. Non solo dalle serie infinite ma anche dalle espres- 

 sioni per prodotti infiniti si cavano formole come all' art. V; 

 ciò avviene perchè queste espressioni si riducono a quelle se- 



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