iia4 SOPKA LA INTEGRAZIONE DELLA FoRMULA 



il quale pure dipenderà da una simil formula dell'ordine n — 3, 

 e così gradatamente discendendo giungeremo alla formula la 

 più semplice di questa specie 



dx 



A 



i-+-ayrcos.^-t-9*x' 



la quale può completamente integrarsi. Ma quelle riduzioni 

 che Giovanni Bernoulli, ed Euier posero in uso, non rende- 

 ranno in generale piìi semplice la formula proposta se ?i è 

 frazionario , o comunque . Con tutto ciò da quelle riduzioni 

 si può trarre un partito, ed è di formare con il lor mezzo 

 una equazione differenziale da cui la proposta formula dipen- 

 da , e questa Equazione ridotta molto semplice per l'evane- 

 scenza di alcuni termini ai limiti x = o, a: = ' , rappresen- 

 terà la formula stessa presa tra quei limiti. Per tanto la in- 

 tegrazione darà il valore cercato , o espresso in un numero 

 finito di termini conosciuti , come quando sarà n intero, o lo 

 farà dipendere da una trascendente irreducibile, o primitiva 

 come per esempio quando n sarà frazionario . Ed in questo 

 caso ancora I' indole della proposta funzione sarà determina- 

 ta. In questa breve Memoria mi propongo di dare un'anali- 

 si completa di questa funzione, di cui anche esporrò qualche 

 uso nella dottrina delle serie per alcuni casi particolari del- 

 l'esponente il. 



I. 



Sia data pertanto la funzione 



_ r dr 



•^ y (i-i-3,gxcos.(p-i-i/''x^y~' 



che debba integrarsi tra i limiti x = o, ^ =—. Differenzian- 

 do rapporto a (p , avremo 



I dr f" rdx 



Dalle riduzioni che fanno dipendere i' ordine n dall' or- 

 dine n — 1 nella formula 



