33 Soluzione Generale ec. 



Laplace per far vedere, che essa si addatta ad una qualun- 

 qne funzione degli errori. E considerando particolarmente il 

 caso in cui questa funzione viene espressa per una potenza 

 intera e positiva degli errori, presi tutti positivamente, ne 

 ricaveremo un teorema degno di attenzione per la sua sem- 

 plicità, il quale comprende siccome un caso particolare, quel- 

 lo trovato dal Signor Laplace . 



a. Alla soluzione del problema , che abbiamo principal- 

 mente in vista , noi faremo precedere alcuni risultati , dei 

 quali se uè vedrà V uso in seguito . 



È dimostrato in varie opere, che assumendo x = — co, 

 e x = -^oo per limiti dell'integrazione si ha, 



dx.c =\/' Jt , 



ove e rappresenta la base dei Logaritmi Iperbolici , e /t la 

 lunghezza della semi-periferia del circolo che ha 1' unità per 

 rac^o^io . Di là ne deriva, che dentro gli stessi limiti si ha. 



"• —x'—stax „ — 



dx.c = e. i/Tt 



f' 



qualunque sia il valore di a reale od imaginario . Lifatti svol- 

 gendo c , noi abbiamo, 



— X'— aax /^ , — x' / zar' s.ax^ \ 



dx.c =J dx.c y^—^ax^-^—j^^-irec.j: 



Ma egli è provato ( V. Exercices de Caiani Integrai de Le- 

 eendre) che, integrando dall'infinito negativo fino all' infini- 

 to positivo si hanno le equazioni 



ai-4-i — :r» 



dx.x .c =o 



/ 



/ai — X2, 1.3.5.7 2J— I /■— 

 dx.x .C = -, .j/^ 



per qualunque valore intero e positivo di / ; dunque si avrà, 



/— X»— aaJ / — / aa , aa i-i , ag i ?_£-4-eC. 



dx.c ==V^-\^-^^s.-2.-^TlM' =■' TImJZ' ^' 



ossia V . 



