Del Sic. Paolo Ruffini 6i 



Difattl , lasciata nella funzione (IV) la x costantemente 

 neir ultimo luogo , supposto quindi p"'-'x^ -4- p"'~-x^ -h p^'—^x^ 



_f_ ec. -H o.r =X , onde si abbia | =~^ { X -h- x ) , e 



'^ (m— r) m m 



supposto che eseguita tra alcune o tutte le ni — i radici 

 x , 0.- , X , ec. :r una qiialclie permutazione, la X diveu- 



ga X , vogliasi, se è possibile, che si abbia ^^(X -^x ) =. 

 — —(^ X -^- X )"= 5. Per la supposizione ora fatta , e per 1' al- 

 tra di «"* = !( n.°2) avendosi tanto ~ (X-i-x )'"■ , quanto 

 — ;r ( X -Hx )'" = « , sarà valore della u sì la quantità 



— ( X -H :c ) , come 1' altra — ( X -i-x ) 1 ma per la neces- 



saria disuguaglianza fra tutti i valori p , p^ , />^, ec. p'"~', e 



per la generalità della Equazione data (I) ( n.° i ) , e quindi 



per la indeterminazione delle x , x , x , ec. la X è necessa- 



I a 3 



riamente disuguale dalla X e però la - — ( X -+- :r ) disuguale 



dalla — ( X -i-x ): dunque queste due quantità non potran- 

 no che essere due radici dell'Equazione «'^ = | disuguali fra 

 di loro. Ora, chiamate ii , 7i tali due radici , osservo che 



per la natura delle radici dell' unità , il valore u deriva sem- 

 pre dall' altro it mentre venga questo secondo moltiplicato 



per una radice mesima dell' unità presa opportunamente , e 

 diversa dall' unità medesima : dunque, chiamata ft simile ra- 

 dice, dovrà essere u z=u.u e però — (X -¥-x ) :=— (X-l-:»; ); 



a '^ I r TO \ I to' ™^ to' 



ma quest' ultima Equazione deve verificarsi, qualunque sian- 



6i 1 valori delie x ^ x , r,, ec, perchè l'Equazione data (I) 

 I a 3 ' "■ 



è generica : dunque dovendo verificar i indipendentemente 



