Del Sic. Paolo Ruffini 77 



numero razionale , sia fratto, e sia = -^ , ove />, r siano nu- 



, /- , \ P 



meri primi fra loro , ed r > i . Ora il termine Mx '' =z M' [/x 



perla natura dei radicali ha r valori diversi : dunque altrettan- 

 ti, indipendentemente dalla A\, ne dovrà avere ancora la serie 



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 L'.iH-M'o: "■ -f- ec. ; ma come abbiamo poc'anzi osservato, ciò" 

 non può essere . Dunque non potrà neppure essere , cbe al- 

 cuno degli esponenti a, /5, y, ec. sia numero rotto. 



Pel discorso eseguito nel (n.^a) sappiamo potersi sem- 

 pre ottenere tante Equazioni algebraiche , col mezzo delle 

 quali da quelli di L possono sempre ottenersi i corrisponden- 

 ti valori di M . Ora se una qualsivoglia di queste Ecjuazio- 

 ni , quella per esempio, per cui da L' deducesi il valore M', 

 si voglia rapporto all' incognita M di grado r, essendo r >■ i , 

 di numero r risultando i valori di M', anche la serie h'x •+• 



M'x -(- ec. avrà indipendentemente dalln x, un numero r di 

 valori ; ma ciò nuovamente non può essere . Dunque neppu- 

 re potrà essere, che i valori di M non possano venir determi- 

 nati dai rispettivi di L con tante Equazioni di grado primo . 

 A norma deli' enunciato del Teorema lo stesso in cenai mo- 

 do si dimostra dei valori di N, di quelli di P, ec. 



7. In conseguenza di quanto si è dimostrato sin qui , 

 vedesi che nel caso nostro potrà sempre la (I) ridursi alla 



riji) y= L.r-H M.i-°-4- Nx"' Px—'' -f-Q.c— ^ ■+■ Rx" 4 -h ec. , 

 e le (II) alle 

 y = L'x-+-]Vr ^N' x-'-h?' x-^-hQ'x-^-hKx-^-i-ec, 



^) /"= L"x -1- M" -t- N" a:— -H P" x-^-+- Q" x-^ -+- R"x-^ -+- ec. , 

 y"=L"'x-h M"'-H N"'x-' -+. F"x-^-i- Q"'x-^-^R"'x-^ H- ec. , 



ec. 



(m) (m) (m) (m) (m) (m) ^ (m) 



dove poi si pongano uguali allo zero i coefficienti di quei 

 termini , che nei casi particolari potessero mancare . 



