Del Sic. Paolo Ruffini io5 



valori tra loro uguali di L, di M, di N,ec.;pure, proceden- 

 do avanti nelle serie, si arriverà certamente ad un coefficien- 

 te, per esempio al coefficiente T, corrispondentemente a cia- 

 scun valore del quale la serie non avrà più , che un solo 

 valore, e dopo del quale i successivi coefficienti si determi- 

 neranno dai precedenti con tante Equazioni tutte di primo 

 grado . 



Supposta una delle serie (XXII) per esempio la prima 



£ k 

 :=/, ed elevata alla potenza /;e5iwa la/ — L'a; = :r l/H -t-ec, 



k p 



otterremo (y — Ux) =H a; h- ec. 



Q.'j. Per semplicità di scrivere in vece del coefficienti 

 M , N P , ec. riponghiamo gli altri M,N,P, ec. e iuve- 



I II I IO a 



ce degli esponenti /? , y , ec. gli altri ^ ^ y , ec; e ritenu- 

 to che sia /? = -^-, io dico, che il numeratore p di questa 



frazione ha per limite superiore k — i, cioè che non può 

 mai essere > A; — i ; e rapporto al limite inferiore dico, che 

 quando si abhia A; = n(n.'i5, 18) non può essere /?< — [m — k),, 

 e quando sìa k <i n, non può essere /?•< — [m — (^-f-i )) . 

 La verità delia prima parte di questo teorema è assai 

 facile da riconoscersi, osservando semplicemente dover esse- 

 re jj- = i3, /?<a(n.° I ), ed a= I (n.° 3). 



Per dimostrare la parte seconda, cominciamo dallo svi- 

 luppare r Equazione y {j;,j )=o del ( n.° a ) nata pei ( n.* 



a, 3) dalla supposizione di y=.'L'x-\-y , ordinandola sicco- 

 me la (III). Essendo in questo caso pel citato (n." 3 ) a-^a'V 

 H-a"L'*-Hec.-i-a('")L"" il coefficiente nella/'( ,r,j )=o del- 

 la potestà x"" , ed essendo tal quantità uguale allo zero, l'in- 

 dicata Equazione sviluppata sarà della forma 



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