Del Sic. Paolo Ruffini 107 



(e) 



esponenti m — r, m — r'-H/?, m — r"-Ha/? ec. m — r -+- e/? , 



ff^ j\ 



ec. m — r -(- (^ — i )^; poiché essendo i coefficienti di ^ 



formati dalla serie de' numeri naturali o, i, a, 3, ec. con- 

 frontando fra loro questi esponenti, il denominatore più gran- 

 de si avrebbe dal paragone del primo m — r con 1' ultimo 



(k i) . (k — i) 



m — r -f-(/t — I )^ ; ed un tal paragone ci dà j? = '' — _ -^ 



ove il denominatore è </;. Dunque ec. Progrediamo innan- 

 zi a considerare tutti i diversi casi^ e 



(k) 

 I .° Facciasi nelle (XXIV) l' uguaglianza m — r = m — r -f-/:/?, 



risultando da questa ^ = —^ » avremo un espressione, 



la quale avendo per denominatore k , potrà essere = -^ , 



e quindi rappresentare il valore di ^ . Ora volendo de- 

 terminare il valor minimo di p nella precedente supposizio- 



{k) ., . , . 



ne di /? = I_ L , osservo, che il suo valore più piccolo si 



rC 



(k) 



ottiene, allorché dal valore più pìccolo, che può avere r 



sottraggasi il più grande, che può ottenere r; e giacché può 



essere /c^n, k <^ n {n.^ i5, 18) pongasi primieramente k=:n. 



ik) 

 III questa ipotesi sarà necessariamente r =k : difatti per la 



natura delle trasformazioni, posta la (VII), ossia a-¥-a'L 



dk .fi dk' . r„ d 



'IL' ^ ~ s.dh-> ^ — 33L' 



a Li -f-ec.-i-a L =A, si ha A =:-rr} A =-77, A =; 



^*=- A = in-^)dL ' A = — ^5r— ' e per «'Ssere L' radi- 



ce n volte della Equazione (VII) ( n." i5), dalla sostituzione 

 di L' invece di L , risultano bensì necessariatneate zero tut- 

 te le quantità A, A', A", A"' , ec. A , ma 1' ultima A 

 è necessarianu'iite dallo zero diversa ; dunque nel rr\so pre- 

 sente volendosi n = A , diverrà necessariamente diversa dallo 



