Del Sic. Paolo Ruffini 109 



8Ì ha <r" — e = gk , e quindi e"=.e-{-gk; inoltre abbiamo 



r non < e , e a non<i. Dunque essendo ancora r non 



(e') 

 mai < r -t-A, ed il massimo valore, che può acquistare r , 



essendo m ; ne segue, che nella supposizione ora fatta di 



... . («) o <*"> 



c>o, qualunque siansi 1 due esponenti m — r -4-ep, m — r 



(e") (e') 



-H e"/9 supposti, il valor minimo del numeratore r — r sa- 

 rà I -1- yt — w = — ( w — ( A:-+- I )). Ma nella ipotesi di e'>o, 

 dalla (XXIII) apparisce, che qualunque supposizione si fac- 

 cia, non può giammai dal paragone degli accennati due espo- 

 nenti ottenersi /?=: ■^, quando non sia k <. m . Dunque il mas- 

 simo valore di k essendo m — i ; ne segue, che avremo sem- 

 pre m — ( A-+- 1) non<o, e per conseguenza che — {m — [k-i- 1 )) 

 sarà non solamente il minimo valore che può acquistare la 



(«") (e') .... , , . 



espressione r — r , ma ancora il mimmo che può nceve- 



(e")_ {e') 



re r altra A — i = -'^ '' 



Sia secondariamente e' = o . In questa ipotesi o si vuole 

 g= I , oppure g > I . Se sia g = I ; questo caso riducesi a 

 quello del (preci"). Che se abbiasi g >• r ; allora avendosi 

 ig non >■ m , ne verrà ì<im, e però essendo m — i » i' mas- 

 simo valore, che può attribuirsi ad /, il valore minimo cor- 

 rispondente di /? in /? = -^ sarà — ( m — ( i^ -+-i ) ) . 



Dunque tenendo conto di tutti i casi possibili, conclu- 

 diamo, che il minimo valore, che nella -^ può acquistare il 



numeratore />, nel caso di k-=-n, è — [m — A), e nel caso 

 di k <C n , è — {m — (^-+-1 )). Dunque ec. 



a8. Pel dimostrato nel ( n." prec), -^? e — ^^> quan- 

 do si ha ^ = n ; e — l "'~^"^' -l , quando si ha A; < « , sono i 

 limiti di tutti i valori , che può acquistare la frazione -^ = ^j 



