Del Sic. Paolo Rurpisr 187 



i." SI nl)hia k =..m , ossia succeda il primo dei casi del 

 (ti." 34). Risultando 2j = wX,ed essendo nel tempo stesso 



(m — I) 



((m — i) Jm — 1) \ 



, ne verrà L' = — _f , 



(m) ' 



ma ' 



w 



= , e tutti gli altri coefficienti N', P', Q'^ ec. , che 





dovrebbero esistere nella X (n.° 3 1 ), saranno zero ; onde nel- 



(m — i) .(to— i) 



la ipotesi Ol\. k-=.m avremo X = ^ t ^ , . 



mar 



2l° Nella ipotesi medesima, nella quale si vuole , che il 

 primo esponente fratto, che nella serie (1) esiste sulla x, ab- 

 bia per denominatore m , dovrà tale esponente essere /? nel 



termine Mx , e non potrà esso avere , che uno dei valori 



m — I m — 2 



^— ?, ec. — . Difatti abbiamo già a := i [n.° "i), eà es- 



sendo k= m , e però = « ( n.' 18, i5 ), l'esponente /7 pel 

 ( n." a8 ) dovrà avere soltanto uno dei valori ^TlL llZl ec. 



« ' OTTO 



— , ~=o. Ora aggiungo non potere nel caso presente essere 

 j9=o; perchè se lo fosse, il primo esponente realmente fratto non 

 sarebbe più /5, ma y =-^ (n.°3o) , ed allora dovendo per la ipo- 

 tesi essere k'=zm, ne verrebbe to=«=A = /=A;' (n.'iig. So), 

 e quindi pei ( 3.°, 4-° n.''3o), il più piccolo valore di ysareb- 

 be lo zeroj ma ciò non può essere, perchè il valore di y 



non può essere > —, essendo già /? = -^ . Dunque risul- 

 tando assurdo il valore di y corrispondente a /5=o ( 5.° n." 33 ); 

 ne segue, che non potrà neppure essere /3= — =0, e quindi 

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