Di Pietro Paoli . . ^7 



■ , - , ixc. , ,^ , ìxc. sono positive . 



a —a a. n — a \^ 



Onesto metodo è jjeiierale per tutti i casi , e per mezzo 



di esso la data formola si potrà sempi-e trasfonnare nella seguente 



A' {x-ìy ) {x A-ry) [x -f- ry' )... [x-^ ir' )* + Tj ' ] • • • • 



ove le quantità «T, cT , </", &c. £, &:c. tono tutte positive, ed è 



X — itr x—aY {-*-"-i^7) *+>')* 



a—aa. a—ax ' ^ (rt — a [i) 



Premes?i questi principi si potrà adesso facilmente risol- 

 vere il problema , in cui si cerca il piìi piccolo valore ia 

 numeri interi della formola data . Sìa essa in primo luoo-o 

 del secondo grado, e risoluta ne" suoi fattori ci presenterà da 

 considerare le tre forme sefruenti 



A ( .r — ay) ( X -+- a'y) 



A{x — cty){x — ay) 

 "secondo clie i fattori sono immagiRarj , o essendo reali le 

 quantità « ed «' hanno il medesima seoiio , o segni diversi . 

 Incominciando dalla prima siano p ^ q \ valori di x ed 

 y nel caso del minimo; la quantità ( /? — /^'7)* + >*9' sarà 

 tale , che posti in luogo di /; e di q de' numeri differenti , 

 almeno fino ad un certo segno , essa acquisterà un valore 

 maggiore . Ma se in luogo di /> e di y porremo numeri un 

 poco minori , il termine y' q^ riescirà minore ; dunque con- 

 verrà che divenga in tal caso maggiore la quantità p — /^ y . 



Ciò posto io dico , che sarà — una frazione convergente ver- 



/» • 1 • ir . m r 



80 p ; poiché se non lo fosse , siano — , — quelle tali fra- 



n s ^ 



aioni convergenti consecutive, nelle quali 5 è -^q , ed iKq. 

 E' noto dalla teoria delle frazioni continue, cheiàcendo astra- 

 zione dai segni è m — ^n<p — ^q; dunque (^ — |i(^)^_j_ - »^» 

 non sarebbe un minimo contro V ipotesi . 



I^icl secondo caso , se x ed y hanno il medesimo se^no . 



al- 



