Di Pietuo Paoli . 89 



h — h':t 



ponJe a questa j il quale saia perciò >i; avremo J'= p- 



x'z-^-r ^ . ,. . , 1 {ax-\-hy'\z-^ ar-^hs 



= -; . Quindi SI deduce a. = -, , , , -,- , 7— , e 



yz-^s [a x-\-uy)z-^ ar-i-b s 



siccome db — ab' ^^ ±. i , ed x's — ry = rh i , sarà ancora 



[ax + by') [dr-\-b's) — {ar-\-bs) {cix -\-b'y') := ± i . On- 



, . j. , ax-^by X . 



de a motivo di s > i , sarà —r-, r,— 7 = — una trazione con- 



ax -H by y 



vergente verso « . ( Si veda Legendre Esxni. sur la. Théorle 



des nombres a pag. aa. , e seguenti . ) 



Se x' ed y nel caso del minimo hanno segni diver- 



si , — — sarà certamente una frazione convergente verso S' ^ 



y' 



r 

 e se chiamiamo — — la frazione, che precede quella, e 5 il 



x' , b—b'^ 

 quoziente completo corrispondente a j ^ avremo S "=■ t~, 



x'z-\-r ^ . ,. . . , {ax'-\-by')z-\-ar-\-bs 



= . Quindi SI ricava « = r—r-, — r, t^ > T^ 



y'z+s {ax-^by)z-['ar-\-bs 



mz -\ ìì, . , ,,,,,, 



= — -, , , se tacciamo ax -f- by z=. jìi , ax -\- by = 



m z-\-fi 



m f ar -\- bs =^ n , dr -\- b's = n . Ora , siccome possiamo 

 prendere a piacere x o y , r o s negative , prendiamole in 

 modo 3 che siano m tà. n positive . Ciò posto _, io dico che 

 saranno positive anche ni ed n\ perchè una di esse dev' es- 

 sere necessariamente positiva , acciò ne risulti il valore di « 

 positivo , e se anche 1' altra non fosse positiva , V equazione 

 m n — ni II ^= di i non potrebbe sussistere . La medesima 

 equazione ci avverte , che se m, e :> n , anche m dev' es- 

 sere maggiore di n; onde nel caso di m :> n , sarà — , una 



m 



frazione convergente verso a,' j ed -7 la frazione convergen- 



te j che la precede . Se m < n, ed in conseguenza m' < n'j 

 Tonio IX. M sia 



