Di Pietro Ferroni . 3n 



Progressioni naturali aritmetiche c^ i, a, 3, 4> 5, 6, 7, 3^ 9, 



i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, IO, ec. , 

 e neir altro dalla somma di i^ 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8^ 9, 10^ ec. 



I, 2, 3,4,5, 6, 7, 8, i), IO, ec. % 

 cioè sia necessario sempre un passo di più nel caso di m 

 negativo a paragone di m positivo. All' opposto nella seconda 

 delle dne Serie per sapere a qual punto ella diventi inter- 

 rotta o finita ( il che accade essendo parimente ni eguale ad 

 un numero intero o positivo o negativo ) , la Frazione si ter- 

 mina sempre con un passo di meno quando sia m negativo 

 in confronto di m positivo . E per assegnar questo punto 

 non si fa che ripetere la /egge precedente, ma inversa,, non 

 cominciando a contarla dopo del capo della Serie , ma piut- 

 tosto del primo denominatore della medesima . La quale ar- 

 monia di rapporto non poteva certamente mancare subito 

 che si rimonti all' origine di quelle due Fra2doni continue . 

 Imperocché quando nello sviluppamento alla Newtoniana di 

 ( I -\r xy ì\ coefficiente d' un termine s' annullasse mentre 



1 



nf=^n 3 seguirebbe I' istesso nello sciogliere altresì ..j :^ 



qualora to = — n, né deve recare difficoltà quel passo di più 

 da farsi nella seconda supposizione per 1' osservanza della leg- 

 ge generale stabilita di sopra-, ben vedendosi che la seconda 

 Formola (quantunque in sostanza non sia. frazionaria) ha la 

 forma d' una Frazione , il cui luimei-atore i è passato ugual- 

 mente nella continua come principio della medesima . 



14. Pare una specie di paradosso , che tanto 1' una , 

 quanto V altra Serie vengano a terminarsi nel doppio caso e 

 di /?i = re e di Tra = — n , supposto n qualunque de' numeri 

 interi . Dirò della prima , eh' è quella di La Grange , e lo 

 stesso varrà per illuminar la seconda . Come mai nascendo 

 la Frazione, di cui faccio parola^ da una Funzione^ che non 

 ha termine fuori del caso di m-=^ n^ può questa generarne 

 \x\\ equipollente , eh' abbia termine cumulativamente e nel 

 caso di m =■ n ^ lo che è fuor di dubbio , e uell' opposto di 



m = 



