Di Paolo Ruffini • 449 



mutazione qualunque , quella per esempio di F {x') [x") . . . 

 . . . (x^'-'^){x''^) in F (.r^*~'^)(a-') (a;<-;^>)(.r") giaccia- 

 si la permutazione medesima nella (III) , e si sostituisca la 



funzione (p (.r^'^*^)(a;') .... (x^')(.r"). che si ottiene, nel- 

 la (II) invece della y . Come dalla sostituzione nella (II) della 



(III) è nata la F (x) (x") (.t^'^~'^)(.i.^*^ , è chiaro , 



che dalla sostituzione della (p (.t''"~'^)(.i') . • . (:v^''"') (-v") do- 

 vrà nascere la F {x^'''~'^)(x') .... ix^''h(^'") ■ dunque si ot- 

 terrà Io stesso risultato , o eseguendo una data permutazione 

 nel primo membro della (E) , od eseguendo la permutazione 

 medesima nella (III) , e sostituendo la funzion che ne vie- 

 ne , nella (II) . Ora o la nuova funzione (^ (x'' ){'-'') • • • 

 . . . (x^''^){x") , corrisponde ai risultati nati dalla (B) per le 

 supposte permutazioni primitive , e secondarie , e però non 



è che il valore di una delle y' , j" , ec y , o non vi cor- 

 risponde ; se sì , allora essendo essa una radice della 

 (II) , farà verificare questa Equazione , e però avremo 



F (x^'^^x) , . . (x^'"^)(.r') = H, se nò, non essendone 



radice, non potrà darci F {x ~^')(x') .... [x ){x") = H; 

 ma questa fimzione non è che il risultato , il quale ricavasi 



dalla F (x) {x") (x '""' )(x ) per la permutazione 



ultimamente supposta . Dunque essendo essa =: H , ogniqual- 

 volta corrisponda ai risultati , che nascono dalla (B) per le 

 supposte permutazioni primitive, e secondarie, e non aven- 

 do tal valore , mentre non vi corrisponda , ne segue che in 

 questo primo caso avremo ottenuto quanto è stato richiesto 

 nell' enunciato del Problema . 



a.° Che se si abbia tt < X, oppure 57 > A : nel primo 

 di questi due casi riduco la (111) alla forma cp (x) (x") . . . 

 .... (x-^'-'')(.c^'^)+o(;k^'+')_^ ec.-f-:r^'^) = H, nel se- 

 condo riduco la (B) alla forma / (.i:') (a") (.t'") 



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