47^ Della soluzione delle equazioni ec. 



w''° una delle decime none, ec. Ciò posto, supponghiamo 

 la 1: tale , che cambiandosi di valore sotto certe per- 

 mutazioni , e prodiicendosi in corrispondenza i risultati 

 ^(«+.)^^(«+2)^ ^(«+j)^/«+*)^ ec. tutti da /• disuguali, le sue 



potenze i" , f'^^i'^, ec. sotto le permutazioni medesime 

 conservino rispettivamente il loro valore per modo , che 



si abbia f" = £''+"" , i" = /"+*^'' , /'^ = /''+?>'^ , i"' 

 "=■ t'^ , ec. •, in questa ipotesi , estraendo le radici , 



dovrà risultare /*+'> = w' t! , é"^^^- co" £, /»+J> = te" t' , 

 i ""***' = w'" t\ ec. Ora in queste Equazioni niuna delle 

 w'_, w'% i(j", w'", ec. può essere := i , perchè se fosse per esem- 

 pio w" ~ I , ne verrebbe ^* ^ = /', il che è contro la sup- 

 posizione: per conseguenza niuna delle f *''"'% i^*"'"*', ec. po- 

 trà essere uguale ad un'altra delle medesime, perchè se 

 ciò fosse 5 se per esempio si avesse / =■ t , oppure 



i[.+"J _ ^(«-♦-0^ risulterebbe rispettivamente w' t' — <v'' t\ 

 w' t' = to'" t' , e però w' = co ' , to' — co'" , il che è 

 impossibile , giacché per la natura delle radici dell' unità 

 è impossibile , che una di queste radici di un dato gra- 

 do un' altra ne uguagli dello stesso , o di grado diverso , 

 mentre esse non siano uguali all'unità, e mentre i loro gra- 

 di vengano espressi da' numeri primi, come di fatti si è sup- 

 posto nel nostro caso . Ma se le quantità t'^ ' , r" , ec. so- 

 no tutte disuguali fra loro, il numero delle precedenti Equa- 



Eioni ^'"= Z"-^'^", /"= i^^+^^'S i''^= /"-^'^'J, ec. deve 

 essere finito, perchè è finito il numero p di tutti i risultati 

 provenienti dalla t per le permutazioni fra le x , x\ x", ce. 

 Dunque potendosi la serie dei numeri primi ir, i 3, 17, 19, a3, 

 ec. estendere all'infinito, ne segue, che potrò sempre de- 

 terminare una potenza ^esìma della t' la quale superi tutte 

 quelle, ili cui succedono l'esposte uguaglianze. Lo stesso si 



di- 



