Di Paolo Ruffini . ^77 



X , X , X . . . X , lo ciiiamo u , e ne Cv-m-co dalia (B) it 

 valore: restando qnesto sempre lo stesso a tutte le peniuita- 



zioni fra le x' , x" , x" , ec. a; , resterà il medesimo a tut- 

 te le permutazioni primitive della (B), e però la u avrà \\n 

 solo valore corrispoiide>ite al primo dei risultati ( JV. ) , uno 

 corrispondente al secondo , «no al terzo , e così di seguito 

 Dunque se tali risultati son di numero «, la u dipenderà da 

 tur' Equazione 



(V) Zi" + g/i"-' _h oc. = ^ 



nella quale i coefficienti g-, ec. essendo funzioni razionali del- 

 la K ( n. i3 , iG ) sono quantità commen-surabili ^ e le ra- 

 dici non sono c\\g i prodetti u = x x' x" . . . x^'^' , u" =: 

 a'" .r" x\ . . x'^^^^ , u'" = { x^ ^-^^ >) (y ^'■+'*' ) (.v^^+^V . .(a:^'^+^^) , 



ec. Pongasi ora V Equazione x^ -+- t x^~^ -i- z x^~^ 4- ec, 

 ±: z< = o . Poiché i coefficienti t , z, ec. sono funzioni si- 

 mili della u^ chiamiusi t\ s' , ec. i valori di questi ^ che 

 corrispondono ad u ^ chiaminsi i' , z" , ec. i corrispondenti 

 ad li' , ec. , si sostituiscano essi nel primo membro della E- 

 quazione supposta , si moltiplichino insieme gli n risultati 



(VI) X -\-t x -^zx -{-QC.±ìi,x -r-^ X -\-z X -f- 

 ec. ± u" , ec. , che quindi provengono , se ne uguagli allo 

 zero il prodotto , e supposto essere 



(VII) x''" -\-?x^"~'-^ Qx"""'"- -\- €C. = o 



r Equazione che ne nasce, i coefficienti P, Q^ ec. di que- 

 sta essendo funzioni razionali dei coefficienti della (V), saran- 

 no essi pur razionali . 



Il primo dei risultati (VI) tutte contenendo evidentemente le 



radici, che esistono in u\ sarà =: [x'-x) (.r-.-»;") (r— jf "). . .{x-x^ ) , 

 il secondo tutte contenendo le radici esistenti in u' , sarà 



= ( .r — .r" ) [x — x" ) { X — :x^ ).. . {x — x^^-^'); 

 ec , ma le radici esistenti in tutti i valori u , u" , zi" , ec. 

 sono precisamente le radici esistenti nei risultati (IV) ; dun- 

 que , 



